Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.
Правило Лопиталя: история и определение
На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.
Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.
Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.
Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:
Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.
Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:
Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:
Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:
Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 :
Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 :
Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1
Найти предел по правилу Лопиталя:
Пример 2
Вычислить с использованием правила Лопиталя:
Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз.
Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:
Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.
Для решения пределов существуют различные методы решений и формулы. Но самым быстрым и легким способом, а также универсальным является метод Лопиталя. Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным простым способом вычисления пределов достаточно хорошо уметь находить производные различных функций. Начнём с теории.
Сформулируем правило Лопиталя. Если:
- $ \lim \limits_{x \to a} f(x) = \lim \limits_{x \to a} g(x) = 0 \text{ или } \infty $
- Существуют $ f"(a) \text{ и } g"(a) $
- $ g"(x)\neq0 $
- Существует $ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $
тогда существует $ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} $
- Подставляем точку $ x $ в предел
- Если получается $ \frac{0}{0} \text{ или } \frac{\infty}{\infty} $, тогда находим производную числителя и знаменателя
- Подставляем точку $ x $ в получившийся предел и вычисляем его. Если получается неопределенность, то повторяем пункты 2 и 3
Примеры решения
| Пример 1 |
| Решить предел по правилу Лопиталя: $ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = \frac{0}{0} = $$ Видим, что получилась неопределенность $ \frac{0}{0} $, если подставить вместо иксов точку $ x = -1 $, а это первый сигнал о том, что необходимо применить формулу для вычисления предела. Используем её: $$ = \lim \limits_{x \to -1} \frac{(x^2-1)"}{(x^3+x+2)"} = $$ $$ =\lim \limits_{x \to -1} \frac{2x}{3x^2+1} = $$ Снова попробуем вычислить предел подставив $ x=-1 $ в последний предел, получаем: $$ =\frac{2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить предел используя правило Лопиталя: $ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = \frac{0}{0}= $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x-e^{5x}+1)"}{(x-\cos x+1)"} = $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x)"-(e^{5x})"+(1)"}{(x)"-(\cos x)"+(1)"}= $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{2\cos 2x-5e^{5x}}{1+\sin x} =\frac{2\cos0-5e^0}{1+\sin 0}= $$ $$ =\frac{2\cdot 1-5\cdot 1}{1+0} = \frac{-3}{1} = -3 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = -3 $$ |
Подведем итог: Правило Лопиталя - это способ и метод благодаря которому можно раскрывать неопределенности вида $ \frac{0}{0} $ и $ \frac{\infty}{\infty} $ при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением может быть самой точки x 0 , и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
Доказательство:
Доопределим f(x) и g(x) в точке x 0 , положив
f(x 0) = g(x 0) = 0.
В окрестности точки x 0 , т.е. на (x 0 ,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x 0 , х) такая, что
Т.к. f(x 0) = g(x 0) = 0.
Перейдем к пределу при x x 0 с x 0 :
Замечание . На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.
Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением самой точки x 0 , причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.
Замечание 1 . Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1 ¥), (¥ 0), (0 0), сводя их к неопределенностям типа , .
Замечание 2 . Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.
Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.
Вывод: показательная функция (y=a n) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n).
Вывод: логарифмическая функция (y=log a x) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.
3. При показательной неопределенности: (0 0), (1 ¥), (¥ 0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.
= = =(0×¥)= = = =
Формулы Тейлора и Маклорена .
Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x 0 .Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что
Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:
Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.
Найдем производные от :
Подставляя вместо , находим:
, , , , … , . Отсюда
Þ , , , ,…, .
Искомый многочлен будет иметь вид:
Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.
Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x 0 . Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:
Здесь некоторая точка, заключенная между и (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.
Доказательство:
Обозначим через многочлен
Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство:
Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка .
Определим функцию
Ясно, что
Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: .
Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства:
Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке
Выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство .
Утверждение доказано.
Если x 0 =0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:
Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена .
Пример:
Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.
Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на
Приложения формул Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.
В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].
Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно,
Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ().
Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.
Признаки монотонности функции.
Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).
Определение:
Функция называется неубывающей (невозрастающей)
Определение:
Функция называется возрастающей (убывающей)
на (a;b), если для любых x 1 Замечание 1:
Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум. Замечание 2.
Функция имеет экстремум только в критических точках.
Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределовпри получении неопределенностей вида 0 0 и ∞ ∞ . Имеются неопределенности вида 0 · ∞ и ∞ - ∞ . Самой важной частью правила Лопиталяявляется дифференцирование функции и нахождение ее производной. Когда lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 или ∞ ∞ и функции f (x) , g (x) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f " (x) g " (x) . Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров. Пример 1
Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) . Решение
Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = sin 2 (3 · 0) 0 · cos (0) = 0 0 . Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) " x · cos (x) " = lim x → 0 2 sin (3 x) (sin (3 x)) " x " · cos (x) + x · (cos (x)) " = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x · sin (x) = 6 sin (3 · 0) cos (3 · 0) cos (0) - 0 · sin (0) = 0 1 = 0 Ответ:
lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 . Пример 2
Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln (x) x . Решение
Производим постановку бесконечностью. Получаем, что lim x → ∞ ln (x) x = ln (∞) ∞ = ∞ ∞ Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) " x " = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0 Ответ: lim x → ∞ ln (x) x = 0
Пример 3
Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) Решение
Производим подстановку значения x . получаем, что lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 · ln (0 + 0) = 0 · (- ∞) Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞ Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln (x)) " (x - 4) " = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 · 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 · (0 + 0) 4 = 0 Ответ:
lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 Пример 4
Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 . Решение
После подстановки получаем lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 · cos (0) - sin (0) 0 · sin 2 (0) = 0 0 Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) " (x sin 2 (x)) " = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x " sin (x) + 2 x cos x " = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 · 1 3 · cos (0) - 2 · 0 · sin (0) = - 2 3 Ответ:
lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3 Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Правило говорит, что если функции f
(x
)
и g
(x
)
обладают следующим набором условий: тогда существует Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», . Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ). Поскольку мы рассматриваем функции f
и g
только в правой проколотой полуокрестности точки a
, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f
(a
) = g
(a
) = 0
. Возьмём некоторый x
из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши . По этой теореме получим: но f
(a
) = g
(a
) = 0
, поэтому Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> для конечного предела и
style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c8728d4d1be40366d4.png" border="0"> для бесконечного,
что является определением предела отношения функций. Докажем теорему для неопределённостей вида . Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A
. Тогда, при стремлении x
к a
справа, это отношение можно записать как A
+ α
, где α
- (1). Запишем это условие: Зафиксируем t
из отрезка и применим теорему Коши ко всем x
из отрезка : Для x
, достаточно близких к a
, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f
(t
)
и g
(t
)
- константы , а f
(x
)
и g
(x
)
стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β
, где β
- бесконечно малая функция при стремлении x
к a
справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α
: Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A
+ α)
, и Если же предел A
бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
(x)}{g"(x)}>2M)" style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.
В определении β
будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x
, достаточно близких к a
, а тогда style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">. Для других баз доказательства аналогичны приведённым. (Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0
; или к ; или к .) Wikimedia Foundation
.
2010
.
Исторически неправильное наименование одного из основных правил раскрытия неопределённостей. Л. п. было найдено И. Бернулли и сообщено им Г. Лопиталю (См. Лопиталь), опубликовавшему это правило в 1696. См. Неопределённые выражения … Большая советская энциклопедия
Раскрытие неопределенностей вида сведением предела отношения функций к пределу отношения производных рассматриваемых функций. Так, для случая, когда действительные функции f и gопределены в проколотой правосторонней окрестности точки ачисловой… … Математическая энциклопедия
Правило Бернулли Лопиталя метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия
Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия, В. В. Ивлев. В пособии излагается теория дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных с примерами, задачами и упражнениями с ответами. Помимо традиционных вопросов анализа…Правило Лопиталя
Определение 1
. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).История
Доказательство
Отношение бесконечно малых
,
.Отношение бесконечно больших
.
. По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A
был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен A
.Примеры
Смотреть что такое "Лопиталя правило" в других словарях:
