История появления понятия производной
Функции, границы, производная и интеграл являются базовыми понятиями математического анализа, изучаемыми в курсе средней школы. И понятие производной неразрывно связано с понятием функции.
Термин "функция" впервые был предложен немецким философом и математиком для характеристики разных отрезков, соединяющих точки некоторой кривой в 1692 г. Первое определение функции, которое уже не было связано с геометрическими представлениями, сформулировал в 1718г. Ученик Иоганна Бернулли
в 1748. уточнил определение функции . Заслугам Эйлера приписывают введение для обозначения функции символ f (х).Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. Французский математик Огюстен Луи Коши . Определение непрерывности функции еще раньше Коши сформулировал чешский математик Бернард Больцано . По этим определениям на базе теории действительных чисел было осуществлено строгое обоснование основных положений математического анализа.
Открытию подходов и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста , который в 1629 г. предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривым, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы , разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 году и несколько позднее независимо друг от друга построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенной скорости, а , - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. и исследовали проблему максимумов и минимумов функций.
Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из потребностей вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут начало в работах древних математиков. Однако это свидетельствует "метод исчерпывания" Евдокса, который позже использовал в III в. до н. э Суть этого метода заключалась в том, что для вычисления площади плоской фигуры и, увеличивая число сторон многоугольника, находили границу, в которую направлялись площади ступенчатых фигур. Однако для каждой фигуры вычисления предела зависело от выбора специального приема. А проблема общего метода вычисления площадей и объемов фигур оставалась нерешенной. Архимед еще явно не применял общее понятие границы и интеграла, хотя в неявном виде эти понятия использовались.
В XVII в. , открывший законы движения планет, была успешно осуществлена первая попытка развить идеи . Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления состояла фигура, площадь которой известно и позволяющая вычислить площадь искомой. В историю математики вошел так называемый "принцип Кавальери", с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позже с помощью интегрального исчисления.
Идеи и других ученых стали той почвой, на котором Ньютон и Лейбниц открыли интегральное исчисление. Развитие интегрального исчисления продолжили и гораздо позже Пафнутий Львович Чебышев
разработал способы интегрирования некоторых классов иррациональных функции.
Современное определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит Коши . Символ
Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt="Презентация на тему:Производная. Выполнили ученицы 11»а»класса:Челобитчикова Мар" title="Презентация на тему:Производная. Выполнили ученицы 11»а»класса:Челобитчикова Мар">
Описание слайда:
№ слайда 2
Описание слайда:
№ слайда 3
Описание слайда:
Из истории: В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков. В XVI-XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функция) и ускоренного движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу. В XIX-XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках». В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде
№ слайда 4
Описание слайда:
№ слайда 5
Описание слайда:
Дифференцируемость Производная f"(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна: Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представлениеf(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)
№ слайда 6
Описание слайда:
Замечания Назовём Δx = x − x0 приращением аргумента функции, а Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) приращением значения функции в точке x0. Тогда Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена производная функция Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно. Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непрерывно дифференцируемой и пишут:
№ слайда 7
Описание слайда:
Геометрический и физический смысл производной Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x - x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 - C1). Тангенс угла α наклона этой касательной - и есть производная в точке x0.
№ слайда 8
Описание слайда:
Производные высших порядков Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда
№ слайда 9
Описание слайда:
Способы записи производных В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:Лагранжа f(n)(x0), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры: f(1)(x0) = f"(x0) = fI(x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f(4)(x0) = fIV(x0), и т. д.Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена;Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых: Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например: - производная первого порядка x по t при t = t0, или - вторая производная f по x в точке x0 и т.д.Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом: , Конечно, при этом надо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:
№ слайда 10
Описание слайда:
Примеры: Пусть f(x) = x2. Тогда Пусть f(x) = | x | . Тогда если то f"(x0) = sgnx0,где sgn обозначает функцию знака. Если x0 = 0, то а следовательно f"(x0) не существует
№ слайда 11
Описание слайда:
Правила дифференцирования Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. (производная суммы равна сумме производных) (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу) Если функция задана параметрически: то,
Раздел математики который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решений задач на проведение касательных к кривым, на вычисление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной. Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя. Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.) – великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер.
Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном. Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й. Ньютон пришел к понятию производной исходя из вопросов механики. Исаак Ньютон (1643 – 1722 гг.) – английский физик и математик.
Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования. Лейбниц Готфрид Фридрих (1646 – 1716) – великий немецкий ученый, философ, математик, физик, юрист, языковед
Применение производной: Применение производной: 1) Мощность – это производная работы по времени P = A" (t). 2) Сила тока – производная от заряда по времени I = g" (t). 3) Сила – есть производная работы по перемещению F = A" (x). 4) Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q" (t). 5) Давление – производная силы по площади P = F"(S) 6) Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l окр =S" кр (R). 7) Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени. 8) Успехи в учебе? Производная роста знаний.
Применение производной в физике Задача: Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 и S 2 (t) = 1,5t 2 +3t –6. В какой момент времени скорости тел будут равны? Задача: Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 и S 2 (t) = 1,5t 2 +3t –6. В какой момент времени скорости тел будут равны?
Применение производной в экономике Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой Исследовать потенциал предприятия. Исследовать потенциал предприятия.
15
Производная функции Преподаватель ГАПОУ РО «РКТМ» Колыхалина К.А. Приращение аргумента, приращение функции Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х-х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х. ∆х = х – х0 – приращение независимой переменной. Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке. f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f ∆f=f(х0+∆х) – f(х0) Определение производной Производной функции y=f(x) в точке x =x0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю. Алгоритм вычисления производной Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме: 1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x). 2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x). 3. Составляем отношение 4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е. (если этот предел существует). Определение производной от функции в данной точке. Ее геометрический смысл
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 . К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) – путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t). Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью точки в момент t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е. 2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения - скорость химической реакции в данный момент времени t.3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА
Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением
а мгновенная скорость распада в момент времени t
Физический смысл производной функции в данной точке
Производные основных элементарных функций Основные правила дифференцирования Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x. 1) (u v) = u v 2) (uv) = uv +uv (cu) = cu 3) , если v 0
Производная функции в точке является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различного рода процессов.
Основные определения
Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что последний стремится к нулю:
$y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
Определение
Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке . Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции .
Историческая справка
Русский термин "производная функции" впервые употребил русский математик В.И. Висковатов (1780 - 1812).
Обозначение приращения (аргумента/функции) греческой буквой $\Delta$ (дельта) впервые употребил швейцарский математик и механик Иоганн Бернулли (1667 - 1748). Обозначение дифференциала , производной $d x$ принадлежит немецкому математику Г.В. Лейбницу (1646 - 1716). Манера обозначать производную по времени точкой над буквой - $\dot{x}$ - идёт от английского математика, механика и физика Исаака Ньютона (1642 - 1727). Краткое обозначение производной штрихом - $f^{\prime}(x)$ - принадлежит французскому математику, астроному и механику Ж.Л. Лагранжу (1736 - 1813), которое он ввел в 1797 году. Символ частной производной $\frac{\partial}{\partial x}$ активно применял в своих работах немецкий математик Карл Г.Я. Якоби (1805 - 1051), а затем выдающийся немецкий математик Карл Т.В. Вейерштрасс (1815 - 1897), хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной из работ французского математика А.М. Лежандра (1752 - 1833). Символ дифференциального оператора $\nabla$ придумал выдающийся ирландский математик, механик и физик У.Р. Гамильтон (1805 - 1865) в 1853 году, а название "набла" предложил английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик Оливер Хевисайд (1850 - 1925) в 1892 году.
