Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рисунок 4).
Рисунок 4 – Момент силы F относительно точки О
При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а называется плечом силы относительно центра момента.
Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо.
М О (F) = F·a.
Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным - против часовой стрелки. Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = 0 (рисунок 5).
Рисунок 5 – Определение знака момента силы относительно точки
Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.
Уравнения равновесия плоской системы сил
Условия равновесия сил на плоскости: для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.
F ГЛ = 0; М ГЛ = Σ М О (F i) = 0.
Получим основную форму уравнения равновесия:
Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.
Для разных случаев используются три группы уравнений равновесия:
1. Первая форма уравнений равновесия
2. Вторая форма уравнений равновесия
3. Третья форма уравнений равновесия
Для системы параллельных сил (рисунок 43), можно составить только два уравнения равновесия:
Пример.
Дано: F = 24 кH; q = 6 кН/м; М = 12 кН·м α = 60°; а = 1,8 м; b = 5,2 м; с = 3,0 м. Определить реакции V A , H A и V В (рисунок 6).
Рисунок 6 – Заданная двухопорная балка
Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями: неподвижная опора имеет реакции V А (вертикальная) и H А (горизонтальная). Подвижная опора - реакцию V B (вертикальная). Выбираем систему координат ХУ с началом в левой опоре, определяем равнодействующую распределенной нагрузки:
Q = q·a 2 = 6·5,2 = 31,2 кН.
Чертим расчетную схему балки (рисунок 7).
Рисунок 7 – Расчётная схема балки
Для полученной произвольной плоской системы сил составляем уравнения равновесия:
∑F ix = 0; H A – F·cos60° = 0;
∑F i у = 0; V A – F·cos30° – Q + V B = 0;
∑М А (F i) = 0; Q·(1,8 + 2,6) + F·cos30°·(1,8 + 5,2) – М – V B ·(1,8 + 5,2 + 3) = 0.
Решаем систему уравнений.
H A = F·cos60° = 24·0,5 = 12 кН;
V A = F·cos30° + Q – V B = 24·0,866 + 31,2 – 27,08 = 24,9 кН.
Для проверки правильности решения составим сумму моментов относительно точки приложения наклонной силы F:
∑М А (F i) = V A ·(1,8 + 5,2) – Q·2,6 – М – V B ·3 = 24,9·7 – 31,2·2,6 – 12 – 27,08·3 = – 0,06.
Ответ: опорные реакции балки равны V A = 24,9 кН; V В = 27,08 кН; Н А = 12 кН.
Контрольные вопросы:
1. Что определяет эффект действия пары сил?
2. Зависит ли эффект действия пары сил от её положения в плоскости?
3.Зависят ли значения и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы?
4. Когда момент силы относительно точки равен нулю?
5. Сколь независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?
Теоретическая механика. Статика :
Система сходящихся сил
Определение и теорема о трех силах
Графическое определение равнодействующей сходящихся сил
Аналитическое задание силы
Аналитическое определение равнодействующей сходящихся сил
Условия и уравнения равновесия системы сходящихся сил
Решение задач
★ Равновесие под действием сходящейся системы сил
Теория пар сил
Пара сил и ее свойства
Теоремы об эквивалентности пар
Сложение пар сил
Равновесие систем пар
Приведение плоской системы сил
Лемма Пуансо
Теорема о приведении плоской системы сил
Частные случаи приведения плоской системы сил
Уравновешенная система сил
Определение опорных реакций плоских стержневых систем
★ Равновесие под действием системы параллельных сил на плоскости
Система параллельных сил
Произвольная плоская система сил
Произвольная плоская система сил. РГР 1
★ Равновесие плоской произвольной системы сил
Расчет составных систем
Расчет составных систем. РГР 2
★ Равновесие системы тел 1
★ Равновесие системы тел 2
★ Равновесие системы тел 3
Графическое определение опорных реакций
subjects:termeh:statics:момент_силы_относительно_центра
Рассмотрим тело, которое закреплено в центре О и может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости чертежа. Приложим в точке А этого тела силу P и выясним, чем определяется вращательное действие этой силы (Рис.1 ).
Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О .
Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.
Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.
В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .
Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку .
Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил. В общем случае для однозначного описания вращательного действия силы введем следующее определение.
Определение 2. Вектор-моментом силы Р относительно центра О называется вектор, который:
приложен в моментной точке О перпендикулярно к плоскости треугольника, построенного на векторе силы с вершиной в моментной точке ;
направлен по правилу право винта ;
равен по модулю моменту силы Р относительно центра О ( Рис.1а ).
Правило правого винта , известное также из курса физики как правило буравчика , означает, что если смотреть навстречу вектор-моменту $\vec{М_0}(\vec{P})$ , мы увидим вращение силой $\vec{P}$ плоскости своего действия, происходящим против хода часовой стрелки .
Обозначим через $\vec{r}$ радиус-вектор точки приложения силы $\vec{P}$ и докажем, что справедлива следующая
Теорема 1. Вектор-момент силы $\vec{P}$ относительно центра О равен векторному произведению радиус-вектора $\vec{r}$ и вектора силы $\vec{P}$ :
$$\vec{M_0}(\vec{P}) = (\vec{r} \times \vec{P})$$
Напомним, что векторным произведением векторов $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$ , который (Рис.2б ):
перпендикулярен к векторам $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ ;
образует с ними правую тройку векторов, то есть, направлен так, что, смотря навстречу этому вектору, мы увидим поворот от вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ на наименьший угол происходящим против хода часовой стрелки;
равен по модулю удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах:
$$|\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\vec{a},\,\vec{b})$$
Для доказательства теоремы отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов $\vec{r}\text{ и }\vec{P}$ будет коллинеарным вектору $\vec{M_0}(\vec{P})$.
Чтобы убедиться в этом, достаточно отложить эти векторы от одной точки (Рис.1в ). Итак, $(\vec{r} \times \vec{P}) \uparrow \uparrow \vec{M_0}(\vec{P})$.
Во-вторых, модуль векторного произведения этих векторов будет равен:
$$|\vec{r} \times \vec{P}| = |\vec{r}|\cdot|\vec{P}|\cdot\sin(\vec{r},\,\vec{P}) = P \cdot d =|\vec{M_0}(\vec{P})|$$
Откуда и следует соотношение теоремы.
Следствием этой теоремы является:
Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей сходящихся сил). Вектор- момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно произвольного центра О равен геометрической сумме вектор-моментов всех сил системы относительно этого центра:
$$\vec{M_0}(\vec{R}) = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{M_{0\,\,i}}(\vec{P_i})$$
В самом деле, момент равнодействующей, с учетом теоремы 1 и аналитического определения равнодействующей сходящихся сил , будет равен:
$$ \vec{M_0}(\vec{R})= \vec{R}\times\vec{r} \,\,\,\;\;\text{ , т.к. } \vec{M_0}(\vec{P}) = (\vec{r} \times \vec{P}) \\ \vec{R}\times\vec{r}= \vec{r}\times\sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i} \,\,\,\;\;\text{ , т.к. } (\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n}) \sim \vec{R} = \sum_{i=1}^{i=n} \vec{P_i} \\ \vec{r}\times\sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i} = \sum_{i=1}^{i=n}(\vec{r}\times\vec{P_i}) = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{M_{0\,\,i}}(\vec{P_i}) $$
Для плоской системы сходящихся сил геометрическая сумма в теореме Вариньона переходит в алгебраическую:
$$M_0(R)=\sum_{i=1}^{i=n}M_{0\,\,i}(\vec{P_i})$$
Примечание
В учебной литературе термин «момент» применяют для обозначения как момента силы, так и ее вектор-момента.
subjects/termeh/statics/момент_силы_относительно_центра.txt · Последние изменения: 2013/07/19 19:53 - ¶
Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.
3. Изгиб. Определение напряжений.3.4. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил.
Поперечная сила в сечении балки mn (рис. 3.7, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа - сверху вниз, и отрицательной - в противоположном случае (рис. 3.7, б).
Изгибающий момент в сечении балки, например в сечении mn (рис. 3.8, а), считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа - против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае (рис. 3.8, б). Моменты, изображенные на рис. 3.8, а, изгибают балку выпуклостью вниз, а моменты, изображенные на рис. 3.8, б, изгибают балку выпуклостью вверх. Это можно легко проверить, изгибая тонкую линейку.
Отсюда следует другое, более удобное для запоминания правило знаков для изгибающего момента. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз. Далее будет показано, что волокна балки, расположенные в вогнутой части, испытывают сжатие, а в выпуклой - растяжение. Таким образом, условливаясь откладывать положительные ординаты эпюры М вверх от оси, мы получаем, что эпюра оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.
Если известен радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:
Действительно, модуль этого векторного произведения:
.
(1.9)
В соответствии с рисунком , поэтому:
Вектор , как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторами, которые принадлежат плоскости Π. Направление векторатаково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение откпроисходит по часовой стрелке. Другими словами, вектордостраивает систему векторов () до правой тройки.
Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:
.
(1.11)
Момент силы относительно оси
Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку, называется моментом силы относительно оси.
Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:
Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗ Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс"", иначе - ``минус"".
1.2 Постановка задачи.
Определение реакций опор и шарнира С.
1.3 Алгоритм решения задачи.
Разделим конструкцию на части и рассмотрим равновесие каждой из конструкции.
Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. (рис.1.1)
Составим 3 уравнения равновесия для всей конструкции в целом:
Рассмотрим равновесие правой части конструкции.(рис 1.2)
Составим 3 уравнения равновесия для правой части конструкции.
Составляя сумму моментов, мы используем правило знаков термеха: против часовой стрелки «+», по часовой стрелке «-». Это не формулировка, но так гораздо проще запомнить.
У многих встречается проблема: как понять в какую сторону сила вращает конструкцию?
Вопрос не очень сложный и если знать некоторые хитрости - довольно легкий в понимании.
Начнем с простого, у нас есть схема
И для примера нам нужна сумма моментов относительно точки А.
Будем идти по порядку слева на право:
Ra и Ha не дадут момента, так как они действуют в точке А и у них к этой точке не будет плеча.
Это пример: зеленая линия - линия силы Ra, желтая - На. К точке А нету плеч, т.к. она лежит на линиях действия этих сил.
Продолжим: момент, возникающий в жесткой заделке Ма. С моментами довольно просто, в какую сторону он направлен разберется любой, в данном случае он направлен против часовой стрелки.
Сила от распределенной нагрузки Q направлена вниз с плечом 2,5 . Куда же она вращает нашу конструкцию?
Отбросим все силы, кроме Q. Помним, что в точке А у нас забит «гвоздь».
Если представить, что точка А - центр циферблата часов, то видно, что сила Q вращает нашу балку по часовой стрелке, а значит знак будет «-».
Точка А - центр циферблата и F вращает балку против часовой стрелки, знак будет «+»
С моментом все понятно, он направлен против часовой стрелки, а значит вращает балку в ту же сторону.
Бывают другие моменты:
Дана рама. Нам нужно составить сумму моментов относительно точки А.
Рассматриваем только силу F, не трогаем реакции в заделке.
И так, в какую сторону сила F вращает конструкцию относительно точки А?
Для этого, как и раньше мы проводим из точки А оси, а для F - линию действия силы
Теперь все видно и понятно - конструкция вращается по часовой стрелке
Таким образом, проблем с направлением быть не должно.
