Дифференцирование показательно степенной функции. Сложные производные

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа y = C Степенная функция y = x p (x p) " = p · x p - 1	Показательная функция y = a x (a x) " = a x · ln a В частности, при a = e имеем y = e x (e x) " = e x
Логарифмическая функция (log a x) " = 1 x · ln a В частности, при a = e имеем y = ln x (ln x) " = 1 x	Тригонометрические функции (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Обратные тригонометрические функции (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Гиперболические функции (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Доказательство 1

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f (x) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0 ∆ x . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции f (x) = C равна нулю на всей области определения.

Пример 1

Даны постоянные функции:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а - любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби - 8 7 .

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (x p) " = p · x p - 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.

Доказательство 2

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p

Таким образом:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Доказательство 3

Чтобы привести доказательство для случая, когда p - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.

Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x < 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тогда x p < 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x < 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p - 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (- x) p - 1 = x p - 1 .

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .

Пример 2

Даны функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84

Производная показательной функции

Доказательство 4

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Пример 3

Даны показательные функции:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x

Производная логарифмической функции

Доказательство 5

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Пример 4

Заданы логарифмические функции:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x · ln e = 1 x

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .

Производные тригонометрических функций

Доказательство 6

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Наконец, используем первый замечательный предел:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Итак, производной функции sin x будет cos x .

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Т.е. производной функции cos x будет – sin x .

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Доказательство 7

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

При дифференцировании показательно степенной функции или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями.

Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных , правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции .

Вывод формулы логарифмической производной.

Сначала производим логарифмирование по основанию e , упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:

Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x .

Логарифмирование дает . По свойствам логарифма . Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:

Ответ: .

Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере функция представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной . Почему? Вы сейчас поймете.

Найдем сначала . В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом):

Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится:

Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ:

Для закрепления материала приведем еще пару примеров без подробных объяснений.

Пример.

Найдите производную показательно степенной функции

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left(x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left({{x}_{1}} \right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left({{x}_{2}} \right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $\alpha $,
3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $\alpha $.

Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

Точно также и $BC$:

Другими словами, мы можем записать следующее:

\[\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{f\left({{x}_{2}} \right)-f\left({{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left({{x}_{2}} \right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

\[{f}"\left({{x}_{1}} \right)=\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке.

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.

\[{f}"\left({{x}_{2}} \right)=tg\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}"=n\cdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

\[\begin{align}& y={{x}^{2}} \\& {y}"=2\cdot {{x}^{2-1}}=2x \\\end{align}\]

А вот другой вариант:

\[\begin{align}& y={{x}^{1}} \\& {y}"={{\left(x \right)}^{\prime }}=1\cdot {{x}^{0}}=1\cdot 1=1 \\& {{\left(x \right)}^{\prime }}=1 \\\end{align}\]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

Итак, мы получаем:

\[{{\left({{x}^{6}} \right)}^{\prime }}=6\cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}\]

Теперь решим второе выражение:

\[\begin{align}& f\left(x \right)={{x}^{100}} \\& {{\left({{x}^{100}} \right)}^{\prime }}=100\cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \\\end{align}\]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

\[{{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"\]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

\[{{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"\]

\[{{\left({{x}^{2}}+x \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left(x \right)}^{\prime }}=2x+1\]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

\[{{\left(c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}"\]

\[{{\left(3{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}\]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

\[{{\left(c \right)}^{\prime }}=0\]

Пример решения:

\[{{\left(1001 \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{1}{1000} \right)}^{\prime }}=0\]

Еще раз ключевые моменты:

1. Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"$;
2. По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"$;
3. Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{\left(c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}"$;
4. Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{\left(c \right)}^{\prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

Записываем:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{5}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{7}"= \\& =5{{x}^{4}}-3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \\\end{align}\]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

Записываем решение:

\[\begin{align}& {{\left(3{{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{\prime }}={{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left(2x \right)}^{\prime }}+{2}"= \\& =3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-2{x}"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end{align}\]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

\[\begin{align}& {{\left(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5 \right)}^{\prime }}={{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left(\frac{1}{2}x \right)}^{\prime }}-{5}"= \\& =2{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+\frac{1}{2}\cdot {x}"=2\cdot 3{{x}^{2}}-3\cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+\frac{1}{2} \\\end{align}\]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

Итак, считаем:

\[\begin{align}& {{\left(6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 \right)}^{\prime }}={{\left(6{{x}^{7}} \right)}^{\prime }}-{{\left(14{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}+{{\left(4x \right)}^{\prime }}+{5}"= \\& =6\cdot 7\cdot {{x}^{6}}-14\cdot 3{{x}^{2}}+4\cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \\\end{align}\]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

\[{y}"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

\[\begin{align}& \sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot {{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\\end{align}\]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

Записываем решение:

\[\begin{align}& \left(\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x} \right)={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}{{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

\[{y}"=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}\]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}}\cdot {{x}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left({{x}^{3+\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{11}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{\frac{8}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2\frac{2}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}} \\& {{\left({{x}^{7}}\cdot \sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{7}}\cdot {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{7\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=7\frac{1}{3}\cdot {{x}^{6\frac{1}{3}}}=\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt{x} \\\end{align}\]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

\[{y}"=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}}+\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt{x}\]

Мы нашли ответ.

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $\frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

\[\left(\frac{1}{{{x}^{n}}} \right)"={{\left({{x}^{-n}} \right)}^{\prime }}=-n\cdot {{x}^{-n-1}}=-\frac{n}{{{x}^{n+1}}}\]

\[{{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\left({{x}^{-1}} \right)=-1\cdot {{x}^{-2}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

\[{{\left(\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{-2}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{x}^{-3}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}}\]

Первый пример решен, переходим ко второму:

\[\begin{align}& {{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}}-\frac{2}{3{{x}^{3}}}+\frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}-{{\left(\frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+{{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }} \\& {{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}{{\left(\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot {{\left({{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot \left(-4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{-7}{{{x}^{5}}} \\& {{\left(\frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left({{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot \left(-3 \right)\cdot {{x}^{-4}}=\frac{-2}{{{x}^{4}}} \\& {{\left(\frac{5}{2}{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x \\& {{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=2\cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \\& {{\left(3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \\\end{align}\]...

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

\[{y}"=-\frac{7}{{{x}^{5}}}+\frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left(x \right)=...$, во втором: $y=...$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left(x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left(x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+\left(\sqrt{x} \right) \\& {{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}} \\& {{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=-3\cdot {{x}^{-4}}=-\frac{3}{{{x}^{4}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}} \\\end{align}\]

Производная функции равна:

\[{y}"=3{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}}\]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

Во втором примере действуем аналогично:

\[{{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}}+\sqrt{x}+\frac{4}{x\sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}\]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

\[\begin{align}& {{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{\left({{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{8}{{{x}^{5}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot {{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}} \\& {{\left(\frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{4}{x\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{4}{{{x}^{1\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}=4\cdot {{\left({{x}^{-1\frac{3}{4}}} \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \left(-1\frac{3}{4} \right)\cdot {{x}^{-2\frac{3}{4}}}=4\cdot \left(-\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{1}{{{x}^{2\frac{3}{4}}}}=\frac{-7}{{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

\[{y}"=\frac{8}{{{x}^{5}}}+\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}}\]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные.

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

1. Найди производную функции.
2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

1. в точке;
2. в точке;
3. в точке;
4. в точке.

Решения:

1. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

1. Найдите производные функций и;
2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:

В этом примере произведение двух функций:

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для нашего примера, .

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
   А исходная функция является их композицией: .
2. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
3. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
4. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
5. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

Вывод формулы производной степенной функции (x в степени a). Рассмотрены производные от корней из x. Формула производной степенной функции высшего порядка. Примеры вычисления производных.

Содержание

См. также: Степенная функция и корни, формулы и график
Графики степенной функции

Основные формулы

Производная от x в степени a равна a , умноженному на x в степени a минус один:
(1) .

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2) .

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Теперь находим производную, применяя :
;
.
Здесь .

Формула (1) доказана.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

По формуле (1) находим производную:
(1) ;
;
(2) .

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x < 0

Снова рассмотрим функцию (3):
(3) .
При некоторых значениях постоянной a , она определена и при отрицательных значениях переменной x . А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n - целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x . Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции :

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3) .
Производную первого порядка мы уже нашли:
.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;

.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
.

Заметим, что если a является натуральным числом , , то n -я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
.

Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.

Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.