Как посчитать усеченный конус по размерам. Объем конуса, его расчет

Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .

Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
4. Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Среди многообразия геометрических тел одним из самых интересных является конус. Образуется он путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Как найти объем конуса – основные понятия

Перед тем, как начать вычисления объема конуса, стоит ознакомиться с основными понятиями.

• Круговой конус – основанием такого конуса является круг. Если в основании лежит эллипс, парабола или гипербола, то фигуры называются эллиптическим, параболическим или гиперболическим конусом. Стоит помнить, что два последних вида конуса имеют бесконечный объем.
• Усеченный конус – часть конуса, расположенная между основанием и плоскостью, параллельной этому основанию, находящейся между вершиной и основанием.
• Высота – перпендикулярный основанию отрезок, выпущенный из вершины.
• Образующая конуса – отрезок, соединяющий границу основания и вершину.

Объем конуса

Для расчета объема конуса применяется формула V=1/3*S*H, где S – площадь основания, H – высота. Так как основание конуса – круг, то его площадь находится по формуле S= nR^2, где n = 3,14, R – радиус окружности.

Бывает ситуация, когда неизвестны какие-то из параметров: высота, радиус или образующая. В таком случае стоит прибегнуть к теореме Пифагора. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, состоящий из двух прямоугольных треугольника, где l – гипотенуза, а H и R – катеты. Тогда l=(H^2+R^2)^1/2.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус представляет собой конус с обрезанной верхушкой.

Чтобы найти объем такого конуса понадобится формула:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

где n=3.14, r – радиус окружности сечения, R – радиус большого основания, H – высота.

Осевым сечением усеченного конуса будет равнобедренная трапеция. Поэтому, если необходимо найти длину образующей конуса или радиуса одной из окружностей, стоит применять формулы для нахождения боковых сторон и оснований трапеции.

Найти объем конуса, если его высота равна 8 см, радиус основания 3 см.

Дано: H=8 см, R=3 см.

Сначала найдем площадь основания, применив формулу S=nR^2.

S=3.14*3^2=28.26 см^2

Теперь по формуле V=1/3*S*H находим объем конуса.

V=1/3*28.26*8=75.36 см^3

Фигуры в форме конуса встречаются повсюду: парковочные конусы, башни строений, абажур светильника. Поэтому знание, как найти объем конуса, порой может пригодиться как в профессиональной, так и в повседневной жизни.

Введите высоту и радиусы оснований:

Определение усеченного конуса

Усеченный конус можно получить из обычного конуса, если пересечь такой конус плоскостью, параллельной основанию. Тогда та фигура, которая находится между двумя плоскостями (этой плоскостью и основание обычного конуса) и будет называться усеченным конусом.

У него имеется два основания , которые для кругового конуса являются кругами, причем один из них больше другого. Также усеченный конус имеет высоту - отрезок, соединяющий два основания и перпендикулярный каждому из них.

Онлайн-калькулятор

Усеченный конус может быть прямым , тогда у него центр одного основания проецируется в центр второго. Если конус наклонный , то такое проецирование не имеет места.

Рассмотрим прямой круговой конус. Объем данной фигуры может быть рассчитан несколькими способами.

Формула объема усеченного конуса через радиусы оснований и расстояние между ними

Если нам дан круговой усеченный конус, то найти его объем можно по формуле:

Объем усеченного конуса

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2) V = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1 , r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - радиусы оснований конуса;
h h h - расстояние между этими основаниями (высота усеченного конуса).

Рассмотрим пример.

Задача 1

Найдите объем усеченного конуса, если известно, что площадь малого основания равна 64 π см 2 64\pi\text{ см}^2 6 4 π см 2 , большого - 169 π см 2 169\pi\text{ см}^2 1 6 9 π см 2 , а высота его равна 14 см 14\text{ см} 1 4 см .

Решение

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h=14 h = 1 4

Найдем радиус малого основания:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2 S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^2 6 4 π = π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64=r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R 1 = 8 r_1=8 r 1 ​ = 8

Аналогично, для большого основания:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2 S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^2 1 6 9 π = π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Вычислим объем конуса:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot14\cdot(8^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text{ см}^3 V = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 см 3

Ответ

4938 см 3 . 4938\text{ см}^3. 4 9 3 8 см 3 .

Формула объема усеченного конуса через площади оснований и их расстояние до вершины

Пусть у нас есть усеченный конус. Мысленно добавим к нему недостающий кусок, тем самым делая из него “обычный конус” с вершиной. Тогда объем усеченного конуса можно найти как разность объемов двух конусов с соответствующими основаниями и их расстоянием (высотой) до вершины конуса.

Объем усеченного конуса

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H-\frac{1}{3}\cdot s\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (S\cdot H-s\cdot h) V = 3 1 ​ ⋅ S ⋅ H − 3 1 ​ ⋅ s ⋅ h = 3 1 ​ ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h )

S S S - площадь основания большого конуса;
H H H - высота этого (большого) конуса;
s s s - площадь основания малого конуса;
h h h - высота этого (малого) конуса;

Задача 2

Определите объем усеченного конуса, если высота полного конуса H H H равна 10 см 10\text{ см} 1 0 см , радиус нижнего основания R R R - 5 см 5\text{ см} 5 см , верхнего r r r - 4 см 4\text{ см} 4 см , а высота усеченного конуса – 8 см 8\text{ см} 8 см .

Решение

R = 5 R=5 R = 5
r = 4 r=4 r = 4
H = 10 H=10 H = 1 0
H − h = 8 H-h=8 H − h = 8 ,
где h h h - высота малого конуса.

Найдем площади обоих оснований конуса:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Найдем высоту малого конуса h h h :

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Объем равен по формуле:

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{см 3}$

Ответ

$228\text{см 3 .}$