Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Изучаем понятие « интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
« Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Причем a ≠ 0
5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:
6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:
Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:
Если , то
8. Свойство:
Если , то
Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.
Рассмотрим пример:
Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.
Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.
Пусть функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ], a < b . Выполним следующие операции:
1) разобьем [a , b ] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i - 1 < x i < ... < x n = b на n частичных отрезков [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ];
2) в каждом из частичных отрезков [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: f (z i ) ;
3) найдем произведения f (z i ) · Δx i , где – длина частичного отрезка [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n ;
4) составиминтегральную сумму функции y = f (x ) на отрезке [a , b ]:
С геометрической точки зрения эта сумма σ представляет собой сумму площадей прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ], а высоты равны f (z 1 ) , f (z 2 ), ..., f (z n ) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:
5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a , b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек z i в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x ) на отрезке [a , b ] и обозначается
Таким образом,
В этом случае функция f (x ) называется интегрируемой на [a , b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x ) – подынтегральной функцией, f (x ) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a , b ] называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то она интегрируема на этом отрезке.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
Если a > b , то, по определению, полагаем
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a , b ] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x ) . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x ) , снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f (x ) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b , снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
4.Если функция y = f (x ) интегрируема на [a , b ] и a < b < c , то
5. (теорема о среднем) . Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то на этом отрезке существует точка , такая, что
4. Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и F (x ) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F (b ) - F (a ) принято записывать следующим образом:
где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f (x ) = x 2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ]. Если:
1) функция x = φ (t ) и ее производная φ "(t ) непрерывны при ;
2) множеством значений функции x = φ (t ) при является отрезок [a , b ];
3) φ (a ) = a , φ (b ) = b , то справедлива формула
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ (t ) = a и φ (t ) = b ).
Вместо подстановки x = φ (t ) можно использовать подстановку t = g (x ) . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g (a ) , β = g (b ) .
Пример 2 . Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле . Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t 2 , откуда x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt = 2tdt . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: , откуда t = 2 и α = 2; , откуда t = 3 и β = 3. Итак,
Пример 3. Вычислить
Решение. Пусть u = ln x , тогда , v = x . По формуле (4)
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df= f’(x) dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x ) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)= f(x) или dF(x)= F’(x) dx= f(x) dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)= f(x) или dF(x)= f(x) dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F 1 (x) и F 2 (x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F 2 (x)= F 1 x)+ C, где С – постоянная .
- Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+ C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
- (1)В формуле (1) f(x) dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
и .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
- Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u= x) , так и функцию от независимой переменной (u= u(x)) .)
(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|). (|u| < |a|).
Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
- Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл
, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t) dt.Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(
Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Причем a ≠ 0
5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:
6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:
Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:
Если , то
8. Свойство:
Если , то
Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.
Рассмотрим пример:
Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.
Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.
