Как находят центр тяжести опытным путем. Способы определения координат центра тяжести

УДИВИТЕЛЬНОЕ РЯДОМ. РАДУГА В ДОМАШНИХ УСЛОВИЯХ

Екимова Валерия

Ученица 2 «б» класса ГБОУ СОШ № 1 РФ, г. Чапаевск

Евсеева Оксана Павловна

научный руководитель, педагог высшей категории, учитель начальных классов, ГБОУ СОШ № 1

Очень частомы замечаем в природе странные и необычные явления. Они поражают наше воображение и надолго запоминаются. Многие из этих удивительных явлений уже объяснили ученые, но для нас продолжают оставаться загадочными. Я бы отнесла к таким явлениям и радугу.

Как образуется радуга? Можно ли наблюдать эту красоту дома? Какие существуют радуги? Мне предстоит найти ответы на эти вопросы.

Объект моего исследования - природное явление РАДУГА.

Я уверена - тема актуальна . Ведь очень важно понимать, как и почему происходит то, что так завораживает наш взгляд.

Цель моей работы - попробовать повторить такое природное явление, как радуга, в домашних условиях.

В своей работе я поставила перед собой следующие задачи: 1. Узнать, при каких условиях возникает радуга. 2. Изучить, какие виды радуг бывают в природе. 3. Познакомиться с легендами и мифами, символами и другими сторонами жизни людей, связанными с радугой. 4. С помощью экспериментов выяснить, возможно ли воспроизвести радугу в домашних условиях.

Методы исследования: анализ публикаций, материалов сети Интернет по данной теме; систематизация и классификация изученного материала; наблюдение; эксперимент.

Значение слова «радуга». Радуга - Божья дуга, небесная дуга - небесное явление; семицветная дуга под облаками, от солнца позади дождя. (Словарь В. Даля).

Легенды и мифы. Древние греки считали, что радуга - это улыбка богини Ириды. А в Библии радуга появляется после всемирного потопа. В армянской мифологии радуга - это пояс Тира (первоначально бог солнца, потом - бог письменности, искусств и наук). Славяне верили, что радуга пьёт воду из озёр, рек и морей, и проливается потом дождём. Иногда она заглатывает вместе с водою рыб и лягушек, поэтому порою они с неба падают.

История изучения. Почему появляется такая красивая цветная картина в воздухе? Ответ на этот вопрос я искала в дополнительной литературе и интернете. Вот, что я узнала.

В 1672 году Исаак Ньютон доказал, что обычный белый цвет - это смесь лучей разного цвета. «Я затемнил мою комнату, - писал он, - и сделал очень маленькое отверстие в ставне для пропуска соответствующего количества солнечного света». На пути солнечного луча ученый поставил особое трехгранное стеклышко - призму.

На противоположной стене он увидел разноцветную полоску - спектр.

Слово спектр произошло от латинского «спектрум» - видимое.

Ньютон объяснил это тем, что призма разложила белый цвет на составляющие его цвета. Затем на пути разноцветного пучка он поставил еще одну призму. Этим ученый собрал все цвета в один обычный солнечный луч. Причём изначально Ньютон различал только пять цветов - красный, жёлтый, зелёный, голубой и фиолетовый. Но потом, Ньютон добавил к пяти перечисленным цветам спектра ещё два - оранжевый и индиго. Он хотел создать соответствие между числом цветов спектра и числом основных тонов музыкальной гаммы. А может быть число 7 имело для него какое-то другое символическое значение. Когда идет дождь, в воздухе находится огромное количество водяных капель. Солнечные лучи проходят сквозь капли воды, белый свет преломляется и разлагается на 7 цветов спектра от красного до фиолетового.

Преломление света. Преломлением света называется изменение направления распространения света (световых лучей) при прохождении через границу раздела двух различных прозрачных сред (например: воздух и вода). Пример преломления света: если в стакан с жидкостью опустить соломку, то она будет казаться нам изогнутой из-за преломления света (рис. 1). Каждая капелька жидкости становится крохотной призмой. Так как капелек-призм после дождя очень много, то и радуга получается в полнеба.

Рисунок 1 . Преломление

Опыт 1. Я решила убедиться, что свет состоит из семи цветов. Для этого попробовала провести опыт. Из картона я вырезала круг радиусом примерно в 5 см. Круг я разделила на 7 секторов. Каждый сектор покрасила нужным цветом (как радугу) (рис. 2). В самом центре круга сделала маленькое отверстие и вставила в него зубочистку. У меня получился волчок. Я запустила волчок. При вращении он стал белым. Почему? Это процесс «собирания» цветов. Белый цвет - хранитель всех красок на земле.

Рисунок 2 . Волчок -радуга

Виды радуг. Радуга, которая возникает после дождя - это первичная радуга. Иногда мы можем видеть дополнительную радугу. В ней цвета следуют в обратном порядке от фиолетового к красному. Может быть даже третья и четвёртая радуга. Почему возникает вторая радуга? Тоже из-за преломления и отражения света в капельках воды. Но перед превращением во «вторую радугу», лучи солнечного света успевают два раза, а не один, отразиться от внутренней поверхности каждой капельки. В яркую лунную ночь можно наблюдать и радугу от Луны. Но рецепторы человеческого глаза при слабом ночном освещении не воспринимают цвета, и лунная радуга выглядит белесой. Чем ярче свет, тем «цветнее» радуга. А бывает радуга тогда, когда дождь невозможен - морозной зимой? Оказывается, такое чудо тоже бывает. Зимой в воздухе «плавают» кристаллики льда. Они разделяют белый цвет на семь цветов.

Эксперимент 1. Попробуем повторить радугу дома. Для этого мне нужен пульверизатор в качестве дождя и солнечный луч. Наполняем пульвелизатор водой и в солнечный день создаем облако в воздухе капель (рис. 3). На них мы и наблюдаем радугу (рис. 4).

Рисунок 3 . Облако капель

Рисунок 4 . Радуга

Вывод: Радуга в домашних условиях,как и в природе, получается. Это происходит из-за преломления солнечного луча в каплях воды и разделения его в спектр.

Эксперимент 2. Мне понадобился компакт-диск, фонарик и гладкая поверхность (стена). Направляю луч фонарика на диск. На стене появляется радуга! (Рис. 5).

Рисунок 5 . Радуга на стене

Эксперимент 3. Для эксперимента понадобилась емкость с водой, зеркало, луч света, гладкая поверхность. Я налила в тазик воду. Зеркало поставила так, чтобы одна его часть была под водой, а другая часть – над ней. Направляю зеркало в сторону гладкой поверхности. Направляю луч на разные части зеркала так, чтобы отраженный свет падал на стену.

Вывод: Лучи света попадают на зеркало и отражаются. Но, проходя сквозь воду, белый свет преломляется. В результате на стене мы получаем радугу.

Рисунок 6 . Проходя через воду, свет преломляется

Эксперимент 4. Мне понадобился раствор для мыльных пузырей.

Рисунок 7. Радужные рисунки на мыльных пузырях

Вывод: Тонкие мыльные пленки на поверхности пузыря постоянно двигаются и преломляют свет. Мы видим постоянно меняющиеся радужные рисунки (рис. 7).

По результатам своей работы я могу сделать следующие выводы. Радугу можно получить в домашних условиях. Вместо солнечного луча может быть использован искусственный источник света. Радугу можно наблюдать не только днем, но и ночью, и даже зимой. Цель - узнать о радуге и попробовать повторить её в домашних условиях - была мною достигнута. Я провела опыты и доказала, что эффект радуги можно получить у себя дома и в любое время года любоваться этим красивым явлением, которое всё ещё хранит много загадок. Результаты, которые я получила при исследовании радуги должны быть интересны и полезны моим одноклассникам.

Список литературы:

Богданов К.И. «Не все так просто»./ Первое сентября - 2006, - № 3. - с. 31-33.
Бурова С.А. Необычные природные явления./ Первое сентября 2003, № 3.
Гегузин Я.Е. Кто творит радугу? - Квант, 1988, № 6.
Семейный фотоархив.
Трифонов Е.Д. Ещё раз о радуге. - Соросовский образовательный журнал, - 2000, - т. 6, - № 7.
[Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: ru.wikipedia.org/wiki/Радуга.
[Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00055/38400.htm.

Антипенко Сергей

Цель исследования: определить, какая существует связь между дождем, солнцем и появлением радуги, и можно ли получить радугу в домашних условиях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА «КАК СОЗДАТЬ Р А Д У Г У В ДОМАШНИХ УСЛОВИЯХ?»

Цель исследования: определить, какая существует связь между дождём, солнцем и появлением радуги, можно ли получить радугу в домашних условиях. Объект исследования: природное явление Р А Д У Г А. Предмет исследования: происхождение радуги. Проблема исследования: как создать радугу в домашних условиях; как появляется радуга и почему она разноцветная; как создать белый цвет из цветных составляющих.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ Как появляется р а д у г а? Когда появляется радуга? Можно ли получить радугу в домашних условиях? Как получить белый цвет из цветных составляющих?

ГИПОТЕЗЫ Предположим, что р а д у г а появляется в солнечную погоду во время дождя, когда солнечные лучи проходят сквозь дождевые капли. Предположим, что радугу можно получить, если заменить солнечные лучи искусственным источником света.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ Изучение литературы. Наблюдение. Эксперимент.

«Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». «Как однажды Жан звонарь головою сшиб фонарь».

Повторить опыт Ньютона может каждый школьник. Повторил этот опыт и я, но с искусственным источником света. Наблюдение разложения света в спектр при прохождении его сквозь призму мы наблюдали дома, используя призму и проектор. Для этого мы “поймали” призмой белый луч и получили изображение радуги на стене. Свет, который казался белым, играл на стене всеми цветами радуги. Так мы проникли в тайну луча, в которую более 300 лет назад проник знаменитый английский учёный.

КАК ПОЯВЛЯЕТСЯ Р А Д У Г А? Во время дождя в воздухе находится огромное количество водяных капель. Каждая капелька выполняет роль крохотной призмы, а поскольку их очень много, то и радуга получается в полнеба. Вот кто оказывается строит разноцветные ворота в небе быстро и красиво! Луч солнца и дождевые капли. Все радуги - это солнечный свет, который проходит через дождевые капли, как сквозь призмы, преломляется и отражается на противоположной стороне неба.

КОГДА ПОЯВЛЯЕТСЯ Р А Д У Г А? Р а д у г а появляется, только когда выглянуло из-за туч солнце и только в стороне, противоположной солнцу. Р а д у г а возникает, когда солнце освещает завесу дождя. Р а д у г у можно наблюдать только рано утром или ближе к вечеру.

А БЫВАЕТ ЛИ Р А Д У Г А БЕЗ ДОЖДЯ? Такое чудо тоже бывает.

ОПЫТ «СОЗДАНИЕ Р А Д У Г И В ДОМАШНИХ УСЛОВИЯХ» Чтобы убедиться в том, что белый цвет состоит из семи цветов и радугу можно получить искусственным путём, мы провели опыт. Нам понадобился: фонарик, ёмкость для воды, плоское зеркало, белый картон и вода. Ход опыта: Наполнили лоток водой Поставили зеркало с наклоном. Направили свет фонарика на погружённую в воду часть зеркала. Чтобы поймать отражённые (или преломлённые) лучи, поставили картон перед зеркалом.

В РЕЗУЛЬТАТЕ НА КАРТОНКЕ ПОЯВИЛОСЬ ОТРАЖЕНИЕ ВСЕХ ЦВЕТОВ РАДУГИ, МЫ СМОГЛИ ПОЛУЧИТЬ Р А Д У Г У В «ДОМАШНИХ» УСЛОВИЯХ. Вывод: пучок света, отражённый зеркалом на выходе из воды, преломляется. Цвета, составляющие белый цвет, имеют разные углы преломления, поэтому они падают в разные точки и становятся видимыми.

ОПЫТ «КАК ПОЛУЧИТЬ БЕЛЫЙ ЦВЕТ ИЗ ЦВЕТНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ?» Точно так же как, мы разложили белый цвет на составляющие, можно из цветных составляющих получить обратно белый цвет. Если с одной стороны призмы разместить семь цветных источников света под соответствующими углами, на выходе из нее мы получим луч белого цвета.

Самостоятельно проделать такой опыт трудно, но есть другой способ. Если взять белый круг и раскрасить его в семь цветов радуги, а потом насадить этот круг на ось. И начать быстро его вращать, место цветного круга, мы увидим белый. Это происходит из-за инерционности человеческого зрения. Глаз не может на быстро вращающемся круге видеть каждый цвет по отдельности и для него все они сливаются в один белый цвет.

З А К Л Ю Ч Е Н И Е В результате проделанной работы мы убедились, что призма умеет превращать белый луч в семицветный, радужный. Выяснили, что капли дождя и кристаллы льда могут разделить белый цвет на семь цветов, поэтому наблюдать р а д у г у можно и осенью, и летом, и весной, и зимой. Но есть условия, при которых такое удивительное явление природы можно увидеть. Мы познакомились со способами получения р а д у г и в «домашних условиях», создание белого цвета из цветных составляющих.

ЛИТЕРАТУРА 1.Белкин И. К. Что такое радуга? – «Квант»1984г. 2.Булат В. Л. Оптические явления в природе. М.: Просвещение, 1974г. 3.Гегузин Я. Е. «Кто творит радугу?» – Квант 1988г. 4.Майер В. В., Майер Р. В. «Искусственная радуга» – Квант 1988г. 5. « Я познаю мир». Детская энциклопедия. Физика О.Г. Хинн - М, ООО 6. Брагин А. Обо всем на свете. Серия: Большая детская энциклопедия. Издательство: Аст, 2007. 7. Детская энциклопедия "Я ПОЗНАЮ МИР". АСТ – ЛТД» 1998

Предварительный просмотр:

Здравствуйте! Я, Антипенко Сергей, ученик 1«б» класса школы №19

Г. Изобильного. А это мой научный руководитель, Мешалкина Марина Николаевна.

Разрешите представить мою исследовательскую работу «Как создать радугу в домашних условиях?».

Каждый человек хотя бы раз в жизни любовался природным чудом – радугой. Многие, наверное, замечали, что радуга, как правило, появляется после дождя. Я много раз видел радугу, и всегда это явление приводило меня в восторг. Прошлым летом мы с родителями гуляли по городу. Погода была солнечная, но вдруг неожиданно начался дождь: теплый, мелко моросящий. Он прекратился также быстро, как и начался, и буквально сразу же мы все увидели в небе радугу. Мне захотелось узнать – что же такое радуга и как она появляется.

Объект исследования – природное явление радуга.

Предмет исследования – происхождение радуги.

Проблема исследования:

как создать радугу в домашних условиях;
как появляется радуга и почему она разноцветная;
как создать белый цвет из цветных составляющих.

Задачи исследования:

Как появляется радуга?
Когда появляется радуга?
Можно ли получить радугу в домашних условиях?
Как получить белый цвет из цветных составляющих?

Выдвинутые гипотезы:

Предположим, что радуга появляется в солнечную погоду во время дождя, когда солнечные лучи проходят сквозь дождевые капли.
Предположим, что радугу можно получить, если заменить солнечные лучи искусственным источником света.

Основные методы: изучение литературы, наблюдение, эксперимент.

Наверное, нет человека, который не любовался бы радугой. Это великолепное красочное явление на небосводе издавна привлекало всеобщее внимание. Всем нам с детства известна поговорка «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан», существует также менее популярный вариант «Как однажды Жан звонарь головою сшиб фонарь». По начальным буквам этих поговорок мы запоминаем названия и последовательность цветов такого необычного и красивого явления природы, как радуга.

Отчего же появляется такая красивая, да еще цветная картина в воздухе? Ответ на этот вопрос мы искали в дополнительной литературе. Вот, что мы узнали.

Солнечный свет или обычный луч белого света в действительности является сочетанием всех цветов. Когда луч света движется, сквозь воздух с ним почти не чего не происходит, но если на его пути попадается прозрачное вещество, заметно отличающейся по плотности от воздуха, со светом начинают происходить интересные вещи. Попадая на границу такого вещества свет отклоняется, но самое главное, что каждая его составляющая, откланяется по- разному.

Исаак Ньютон доказал, что обычный белый цвет – это смесь лучей разного цвета. «Я затемнил мою комнату, - писал он, - и сделал очень маленькое отверстие в ставне для пропуска солнечного света». На пути солнечного луча ученый поставил особое трехгранное стеклышко - призму. На противоположной стене он увидел разноцветную полоску – спектр. Ньютон объяснил это тем, что призма разложила белый цвет на составляющие его цвета. Ньютон первый разгадал, что солнечный луч многоцветный.

Для этого мы “поймали” призмой белый луч и получили изображение радуги на стене. Свет, который казался белым, играл на стене всеми цветами радуги (эти разноцветные, яркие полоски и называют солнечным спектром). Так мы проникли в тайну луча, в которую 300 лет назад проник знаменитый английский учёный .

Мы рассматривали сквозь призму предметы белого цвета, они выглядели цветными, радужными. Радуга – самый знаменитый, всем известный спектр.

Значит, чтобы появилась радуга, солнечному лучу надо пролететь сквозь призму? Но ведь на небе нет никаких призм! Как же тогда появляется радуга?

2.2. Как появляется радуга

Ничего странного здесь нет. Радуга – это просто, это солнечные лучи, преломляющиеся в каплях дождя. Во время дождя в воздухе находится огромное количество водяных капель. Каждая капелька выполняет роль крохотной призмы, а поскольку их очень много, то и радуга получается в полнеба. Вот кто оказывается строит разноцветные ворота в небе быстро и красиво! Луч солнца и дождевые капли. Все радуги - это солнечный свет, который проходит через дождевые капли, как сквозь призмы, преломляется и отражается на противоположной стороне неба. Наружный край дуги обычно красный, а внутренний – фиолетовый. В солнечном спектре различают семь цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый.

Вывод: радуга появляется в солнечную погоду во время дождя, когда солнечные лучи проходят сквозь дождевые капли.

2.3. Когда появляется радуга

Тогда возникает вопрос: почему мы не всегда во время дождя при солнце видим радугу?

Радуга появляется, только когда выглянуло из-за туч солнце и только в стороне, противоположной солнцу.
Радуга возникает, когда солнце освещает завесу дождя.

Находиться надо строго между солнцем (оно должно быть сзади) и дождём (он должен быть перед тобой). Иначе радугу не увидеть! Солнце, наши глаза и центр радуги должны находиться на одной линии! Если солнце высоко в небе, то такую прямую линию провести невозможно. Вот почему радугу можно наблюдать только рано утром или ближе к вечеру. Радуга появляется при условии, что угловая высота солнца над горизонтом не превышает 42 градуса.

А бывает ли радуга без дождя?

Оказывается, такое чудо тоже бывает. Зимой в воздухе «плавают» кристаллики льда. Они тоже могут разделить белый цвет на семь цветов радуги, поэтому радугу можно наблюдать даже зимой. Воздух, хоть и кажется абсолютно прозрачным, на самом деле тоже разлагает свет на составляющие цвета. Заметно - это бывает на восходе или закате солнца. Проходя сквозь толщу атмосферы земли, лучи его немного откланяются, а как мы помним, красный цвет откланяется слабее остальных. Именно по этой причине, солнце, находясь вблизи горизонта, приобретает красный оттенок. Лучи другого цвета откланяются сильнее и да нас уже не доходят.

Опыт «Создание радуги в домашних условиях»

Чтобы убедиться в том, что белый цвет состоит из семи цветов и радугу можно получить искусственным путём, мы провели опыт.

Нам понадобился фонарик, ёмкость для воды, плоское зеркало, белый картон и вода. Ход опыта:

Наполнили лоток водой
Поставили зеркало с наклоном.
Направили свет фонарика на погружённую в воду часть зеркала.
Чтобы поймать отражённые (или преломлённые) лучи, поставили картон перед зеркалом.

В результате на картонке появилось отражение всех цветов радуги, мы смогли получить радугу в «домашних» условиях.

Вывод: пучок света, отражённый зеркалом на выходе из воды, преломляется. Цвета, составляющие белый цвет, имеют разные углы преломления, поэтому они падают в разные точки и становятся видимыми.

Опыт «Как получить белый цвет из цветных составляющих?»

Точно так же как, мы разложили белый цвет на составляющие, можно из цветных составляющих получить обратно белый цвет. Если с одной стороны призмы разместить семь цветных источников света под соответствующими углами, на выходе из нее мы получим луч белого цвета.

4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанной работы мы убедились, что призма умеет превращать белый луч в семицветный, радужный. Выяснили , что капли дождя и кристаллы льда могут разделить белый цвет на семь цветов, поэтому наблюдать радугу можно и осенью, и летом, и весной, и зимой. Но есть условия, при которых такое удивительное явление природы можно увидеть. Мы познакомились со способами получения радуги в «домашних условиях», создание белого цвета из цветных составляющих.

В заключение хочу поблагодарить своего научного руководителя, Мешалкину Марину Николаевну, за оказанную мне помощь в ходе работы.

Спасибо за внимание!

Лекция 4. Центр тяжести.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы

1. Центр тяжести твердого тела.

2. Координаты центров тяжести неоднородных тел.

3. Координаты центров тяжести однородных тел.

4. Способы определения координат центров тяжести.

5. Центры тяжести некоторых однородных тел.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Приведение параллельных сил.

После того как было рассмотрено приведение к центру плоской системы и произвольной пространственной системы сил, мы опять возвращаемся к рассмотрению частного случая системы параллельных сил.

Приведение двух параллельных сил.

В ходе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения.

1. Система двух коллинеарных сил. Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q , приложенных в точках А и В . Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (рис.1,а ).

С , принадлежащую отрезку АВ и удовлетворяющую условию:

АС /СВ = Q /P .(1)

Главный вектор системы R C = P + Q по модулюравен сумме этих сил:R C = P + Q .

С с учетом (1) равен нулю: M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0.

Таким образом, в результате приведения мы получили: R C ≠ 0, M C = 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть:

Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом.

Отметим, что положение точки С не изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α . Точка С , обладающая таким свойством называется центром параллельных сил .

2. Система двух антиколлинеарных и не равных по модулю сил. Пусть силы P и Q , приложенные в точках А и В , параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю не равны (рис.1,б ).

Выберем в качестве центра приведения точку С , удовлетворяющую по-прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ .

Главный вектор этой системыR C = P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов:R C = Q - P .

Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю: M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0, поэтому

Равнодействующая антиколлинеарных и не равных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешнимобразом.

Рис.1

3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил. Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р , а силу Q устремим по модулю к силеР .

Тогда при Q → Р в формуле (1) отношение АС /СВ → 1. Это означает, чтоАС → СВ , то есть расстояние АС →∞ .

При этом модуль главного вектора R C → 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению:

M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = P ∙ ( АС - СВ ) = P ∙ А B .

Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой R C = 0, M C ≠ 0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать пару сил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет .

Центр системыпараллельных сил.

Рассмотрим систему n сил P i , приложенных в точках A i (x i , y i , z i )и параллельных оси Ov c ортом l (рис.2).

Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R .

Определим координаты центра C (x c , y c , z c ) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующейэтой системы.

Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой:

M 0 (R ) = Σ M 0 (P i ).

Рис.2

Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому:

М 0 (R ) = r c × R = Σ М 0i (P i ) = Σ (r i × P i ).

Учитывая, что R = R v ∙ l , а P i = P vi ∙ l и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим:

r c × R v ∙ l = Σ (r i × P vi ∙ l ),

r c ∙ R v × l = Σ (r i ∙ P vi × l ) = Σ (r i ∙ P vi ) × l ,

или:

[ r c R v - Σ (r i P vi )] × l = 0.

Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = Σ P i , отсюда получим:

r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).

Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил :

x c = (Σ P i x i )/(Σ P i );

y c = (Σ P i y i )/(Σ P i );(2)

z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).

Центр тяжести тел.

Координаты центров тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆ V i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆ P i , направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.3), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.3

Определение . Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса ∆ P i к объему ∆ V i : γ i = ∆ P i / ∆ V i . Для однородного тела эта величина является постоянной: γ i = γ = P / V .

Подставляя в (2) ∆ P i = γ i ∙∆ V i вместо P i , учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на g , получим выражения координат центра тяжести однородного тела :

x c = (Σ ∆ V i ∙ x i )/(Σ ∆ V i );

y c = (Σ ∆ V i ∙ y i )/(Σ ∆ V i );(3)

z c = (Σ ∆ V i ∙ z i )/(Σ ∆ V i ).

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами . И координата по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) P i – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а V i - объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например,

И аналогично, где - объём всего тела.

Третье замечание. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t , лежащей в плоскости Oxy . Подставляя в (3) ∆ V i = t ∙ ∆ F i , получим координаты центра тяжести однородной пластинки :

x c = (Σ ∆ F i ∙ x i ) / (Σ ∆ F i );

y c = (Σ ∆ F i ∙ y i ) / (Σ ∆ F i ).

z c = (Σ ∆ F i ∙ z i ) / (Σ ∆ F i ).

где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆ V i = a ∙∆ L i , поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны:

x c = (Σ ∆ L i ∙ x i )/(Σ ∆ L i );

y c = (Σ ∆ L i ∙ y i )/(Σ ∆ L i );(4)

z c = (Σ ∆ L i ∙ z i )/(Σ ∆ L i ).

где – координаты центра тяжести i -го участка; .

Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

Примечание.

В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением.

Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис.4) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.4

где - вес единицы объема тела (удельный вес)

-вес всего тела.

неоднородную поверхность (рис.5), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.5

где - вес единицыплощади тела,

-вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис.6), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.6

где - вес единицыдлины тела,

Вес всего тела.

Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул,можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел .

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

S =S 1 +S 2 .

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки(без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .

Рис.9

S = S 1 - S 2 .

4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ , равная .

Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 иА 3 :

x c = x 1 + (2/3) ∙ (x М 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

x c =(1/3) Σ x i ; y c =(1/3) Σ y i .

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2 α , расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ . С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R × d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙ d φ , а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙ cosφ . Подставляя в (5) F = α R 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .

Подставляя в (2) α = π /2, получим: x c = (4 R )/(3 π ) ≅ 0,4 R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.

Рис.13

Решение. Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Решение. Координаты центров тяжести:

Площади:

Поэтому:

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа. Пример 4. Найти положение центра тяжести пластинки, представленной на рис. 16. Размеры даны в сантиметрах.

Рис.16

Решение. Разделим пластинку на фигуры (рис. 17), центры тяжести которых известны.

Площади этих фигур и координаты их центров тяжести:

1) прямоугольник со сторонами 30 и 40 см, S 1 =30 ∙ 40=1200 см 2 ; х 1 =15 см; у 1 =20 см.

2) прямоугольный треугольник с основанием 50 см и высотой 40 см; S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1000 см 2 ; х 2 =30+50/3=46,7 см;у 2 = 40/3 =13,3 см;

3) половина круга окружности радиуса r = 20 см; S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 =628 см 2 ; х 3 =4 R /3 π =8,5 см; у

Решение. Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ = ρ g , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.19

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня,для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

Вопросы для самопроверки

- Что называется центром параллельных сил?

- Как определяются координаты центра параллельных сил?

- Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

- Каким свойством обладает центр параллельных сил?

- По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

- Что называется центром тяжести тела?

- Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

- Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

- Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

- Что называют статическим моментом площади?

- Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

- Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

- В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

- Где расположен центр тяжести дуги окружности?

- Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

- Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

- Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

- По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

- Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

- Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

- Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

Рис.7

Рис.8

3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .

Рис.9

4.Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ , равная .

где угол измеряется в радианах.

Рис.11

x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.

x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

Площади:

Рис. 6.5.

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l .

Рис.16

Координаты центров тяжести участков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Вопросы для самопроверки

Что называется центром параллельных сил?

Как определяются координаты центра параллельных сил?

Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

Каким свойством обладает центр параллельных сил?

По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

Что называется центром тяжести тела?

Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

Что называют статическим моментом площади?

Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

Где расположен центр тяжести дуги окружности?

Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Как находят центр тяжести опытным путем. Способы определения координат центра тяжести

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Еще по теме статьи: