Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Доказательство
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Противоположные стороны равны.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Противоположные стороны параллельны.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Диагонали прямоугольника равны.
AC = BD
Доказательство
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .
Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).
Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.
Значит, AC = BD .
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.
Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .
Доказано!
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .
10. Сумма всех углов равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
11. Все углы прямоугольника прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.
Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}
\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}
14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
Разделы: Начальная школа
Тема : Виды четырехугольников. Прямоугольник
- Обеспечить усвоение учащимися знаний о различных видах четырехугольников, прямоугольника.
- Развить умения классифицировать факты, делать выводы, строить прямоугольник и отличать его из ряда четырехугольников.
- Воспитание мотивов учения, положительного отношения к занятиям.
Тип урока – комбинированный.
Вид урока – дидактическая игра.
Методы и приемы обучения: диалогический и эвристический методы:
- организация труда в парах;
- фронтальная работа;
- оперативная форма проверки знаний (спецкарточки);
- демонстрация наглядных пособий;
- работа в бригадах.
Оборудование:
- кодоскоп;
- плакат с видами четырехугольников;
- наглядные пособия к сказке;
- сигнальные карточки;
- перфокарты для каждого ученика с заготовленными таблицами;
- заготовки прямоугольников;
- ножницы, линейки, карандаши, чертежные треугольники;
- магнитная доска;
- прямоугольники с номерками;
- раздаточный материал (прямоугольники красного цвета для поощрения отвечающих);
- магнитофон.
Ход урока
I. Актуализация прежних знаний (5 минут)Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие в удивительную страну Геометрию :
– Кто знает, что в переводе с греческого обозначает слово “геометрия”?
“Гео” – земля, “метрия” – измерение.
Наука эта появилась в Греции.
Сопровождать нас будет в нашем путешествии (учитель показывает сказочного героя) удивительный герой – волшебник.
– Всех вас он зашифровал, и вы будете путешествовать под зашифрованными номерами.
– Кто узнал его? (Старик Хоттабыч.)
– Кто написал книжку “Старик Хоттабыч”? (Лагин.)
Старик Хоттабыч очень старый волшебник и его знания устарели, поэтому он пришел к вам на урок и хочет узнать, что же сейчас изучают современные дети. Помогите волшебнику разобраться.
– Что изображено на доске? (Геометрические фигуры.)
– Определите на какие 2 группы вы могли бы разделить эти геометрические фигуры? (Треугольники и четырехугольники.)
Заполните карточку №1. Укажите номера треугольников и четырехугольников. Все дети указывают в карточке номера.
В это время 2 ученика фиксируют ответы на доске.
– Укажите во второй карточке номера треугольников по углам (тупоугольный, прямоугольный, остроугольный) и по сторонам (равносторонний и равнобедренный).
Работу выполняют по вариантам, а потом обмениваются карточками и осуществляют взаимопроверку в парах.
II. Формирование новых понятий и способов действий(20 минут)
1) Сегодня мы с нашим героем познакомимся с видами четырёхугольников, а именно; с прямоугольником, научимся его чертить и выделять среди других фигур Т.к. треугольников и четырёхугольников в геометрии много. Вот как выглядят некоторые из них:
ВИДЫ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ
– Какие из них вы уже знаете?
Дети называют те виды, которые знают.
– Что общего у этих фигур, что их объединяет в одну группу?
(4 стороны, 4 угла, 4 вершины.)
– А чем один вид отличается от другого? (Длинами сторон и особенностями углов.)
Учитель обращает внимание детей на таблицу и говорит определения.
- Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
- Трапеция – четырехугольник, у которого только 2 противоположные стороны параллельны (перевод “столик”).
- Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. – параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.
2) Помогите Хоттабычу из ряда четырехугольников найти похожие (1 3 5).
– Как называются углы у фигур 1, 3, 5? (Прямые.)
– А как бы вы назвали эти фигуры? (Прямоугольники.)
– Попробуйте сказать, что же такое прямоугольник?
Прямоугольник – геометрическая фигура, у которой все углы прямые и противоположные стороны равны.
– Назовите вершины у прямоугольника АВСД? (А, В, С, Д – вершины.)
– А углы? (<АВД, <ВДС, <ДСА, <САВ)
– Стороны? (АВ, ВД, СД, СА)
– Как вы думаете, прямоугольник – нужная геометрическая фигура или нет (да).
Поможет вам в этом убедиться сказка.
3) Сказка “Полезный прямоугольник”.
Прямоугольник завидовал квадрату.
– Я такой неуклюжий. если поднимусь во весь рост, то стану длинным и узким. Вот таким:
– А если я лягу на бок, то буду низким и толстым:
– А ты всегда остаешься одинаковым – и стоя, и сидя, и лежа.
– Да, с гордостью говорил квадрат. У меня все стороны равны, не то, что у некоторых, то дылда-дылдой, то блин-блином. А однажды случилось вот что:
Старик Хоттабыч заблудился в лесу. Ковра-самолета у него не было, борода намокла под дождем, и выбраться из леса он не мог. Он шел через чащу и встретился с квадратом и прямоугольником.
– Можно я заберусь на Вас и погляжу, где мой дом? – спросил он у квадрата.
Хоттабыч залез сначала на одну сторону квадрата, но ничего не увидел, потому что ему мешали верхушки деревьев. Тогда волшебник попросил квадрат перевернуться на другую сторону, но, как известно, у квадрата все стороны равны, поэтому он снова ничего не увидел.
– Гражданин Квадрат, помогите мне хотя бы перебраться через речку. Квадрат подошел к речке и попытался дотронуться до другого берега. НО...плюх!.
– Может быть, я смогу помочь Вам? – предложил скромный прямоугольник.
Он стал во весь свой рост и Хоттабыч взобрался на него и
оказался выше деревьев. Вдалеке он увидел свой дом и понял, куда надо идти. Тогда прямоугольник лег на бок и стал мостом. Хоттабыч перебрался по прямоугольнику через речку, помог ему подняться и, поблагодарив прямоугольник, отправился домой.
А квадрат, который после купания сушился на берегу, сказал
прямоугольнику:
– Вы, оказывается, полезная фигура
– Ну, что вы! – скромно улыбнулся прямоугольник.
Просто мои стороны разной длины 2 – длинные, 2 – короткие. Иногда это бывает очень удобно.
– Какие предметы прямоугольной формы вы видите у себя в классе?
4) Существует специальный чертежный треугольник, при помощи которого можно определить прямые углы в геометрической фигуре. Попробуйте самостоятельно опытным путем определить, какие из этих фигур прямоугольники.
КАРТОЧКА №3.
– Как в этом поиске вам помог чертежный треугольник?
Дети определяют у себя и называют номера фигур (2,4). Демонстрируют на доске, как им в определении помог чертежный треугольник.
5) Физминутка (песня “Дважды два четыре”).
Ваш учитель будет рад
Посмотреть на ваш
Встаньте дети возле парт
Покажите всем подряд
Руки выставьте вперед
А потом наоборот
Получился самолет
Отправляемся в полет
Неразлучные друзья / 2 раза
Квадрат, прямоугольник,
Неразлучные друзья
Геометрия и школьник
6) Начертите прямоугольник, пользуясь отрезками и чертежным треугольником:
Дети чертят у себя в тетрадях, а потом с объяснением у доски.
Чертим отрезок 4 см. Совмещаем сторону треугольника с отрезком и строим прямой угол, откладываем отрезок и т. д.
1. Начертите прямоугольник, зная, что одна сторона 2 см, а другая на 4 см больше.
Анализ задачи:
– Можете ли вы сразу начертить прямоугольник? (Нет)
– Почему? (Не знаем длину второй стороны.)
– А как найти длину второй стороны? (2+4=6).
Работает бригада (4 человека).
2. У вас есть заготовки прямоугольников со сторонами 8 см и 4 см. Их нужно разрезать на 4 одинаковых треугольника, а затем из них составить квадрат. Как это сделать?
3. Старик Хоттабыч хочет убедиться, что вы были внимательными и усвоили то, о чем мы говорили. От его имени я задаю вопросы, а вы с помощью сигнальных карточек показываете ответ: Да – зеленый цвет, Нет – красный.
1) Верно ли, что если фигура имеет 4 угла, 4 стороны, 4 вершины, то ее можно назвать четырехугольником? (Да)
2) Является ли прямоугольник одним из видов четырехугольников? (Да)
3) Верно ли, что противоположные стороны прямоугольника не равны? (Нет)
4) Правильно ли, что квадрат можно назвать прямоугольником и четырехугольником? (Да)
4. Графический диктант
Отметьте точку А, от нее вниз под прямым углом проведите отрезок длиной 2 см и обозначьте его конец точкой В. От В вправо под прямым углом проведите отрезок длиной 4 см и обозначьте конец точкой С. Вверх проведите под прямым углом отрезок длиной 2 см и поставьте точку Д. Достройте самостоятельно фигуру, которой мы много внимания уделили на уроке.
– Какая это фигура? (прямоугольник)
5. Найдите на чертеже 3 четырехугольника :
6. Загадки.
Разгадав загадки, вы узнаете, что хочет сказать вам наш гость.
– О какой фигуре идет речь?
Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны,
Одинаковой длины.
Вам его представить рад.
– Как зовут его? (Квадрат )
– Какая фигура может о себе так сказать?
Ты на меня, ты на него,
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего
По три стороны и три угла,
И столько же вершин,
И трижды – трудные дела,
Мы трижды совершим. (Треугольник
)
– Какие виды четырехугольников вы знаете?
– Какая фигура называется прямоугольником?
V. Домашнее задание.Придумайте сказку или кроссворд о геометрических фигурах.
Список литературы:
- В. Волина “Праздник числа”, Москва, Дрофа 1997 г.
- А.М. Пышкало “Методика обучения элементам геометрии в начальных классах”, Просвещение, 1980 г.
- Журнал “Завуч”, №1, 2000, Фомин А.А. “Соблюдение педагогических требований как фактор, повышающий профессиональную компетентность современного учителя”, с. 21.
- Журнал “Начальная школа”, №2, 2001 г. “Геометрия”, с.15.
- Газета “Начальная школа”, №3, 1997 г. “Геометрия”, с. 4.
География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.
Определение прямоугольника
Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.
Свойства прямоугольника
- стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
- диагонали фигуры равны;
- точка пересечения диагоналей делит их пополам;
- прямоугольник можно поделить на два равных
Признаки прямоугольника
Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:
- параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
- параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
- четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.
Еще немного интересного
Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях.
Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.
Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.
