Доказательство: Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка А 1 совпала с А. Так как АС=А 1 С 1,то, по аксиоме откладывания отрезков, точка С 1 совпадёт с С. Так как А = А 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч А 1 В 1 совпадёт с лучом АВ. Так как АВ = А 1 В 1, то, по аксиоме откладывания отрезков, точка В 1 совпадёт с точкой В. Треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС совпали, значит, АВС = А 1 В 1 С 1 Ч.Т.Д.
Доказательство: Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка А 1 совпала с А. Так как АС=А 1 С 1,то, по аксиоме откладывания отрезков, точка С 1 совпадёт с С. Так как А = А 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч А 1 В 1 совпадёт с лучом АВ. Так как С = С 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч С 1 В 1 совпадёт с лучом СВ. Точка В 1 совпадёт с точкой В. Треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС совпали, значит, АВС = А 1 В 1 С 1 ЧТД
М е д и а н а Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. медианабиссектриса 1 В Ы С О Т А б и с с е к т р и с а Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. высота
А В С К М O Т Продолжение высот тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется – ортоцентр.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка тоже замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O б и с с е к т р и с а
1 Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В Ы С О Т А В Ы С О Т А Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом. Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника. В Ы С О Т А 11
Вывод 1.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. 3.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.
Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).
Быстрая навигация по статье
Длина сторон прямоугольного треугольника
Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²
- Находим квадрат длины катета a;
- Находим квадрат катета b;
- Складываем их между собой;
- Из полученного результата извлекаем корень второй степени.
Пример: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b² =3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.
Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..
Если известен периметр
В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.
Пример: P=18, a=7, b=6, c=?
1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:
2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:
c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.
Если известен угол
Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Если известна площадь
В этом случае одной формулой не обойтись.
1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:
sin γ= 2S/(a*b)
2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) И снова воспользуемся теоремой синусов:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник - ромб.
3) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
Решение задачи:
Рассмотрим каждое утверждение.
1) "Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны", это утверждение неверно
, т.к. не соответствует ни одному из признаков равенства треугольников .
2) "Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник - ромб", это утверждение неверно
, т.к. полностью не соответствует ни одному свойству ромба . Например, четырехугольник, изображенный на рисунке, его диагонали перпендикулярны, но очевидно, что это не ромб.
3) "Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра". Прощадь круга равна ΠR 2 , или ΠD 2 /4. Число Π (Пи) равно, приблизительно, 3,14. Тогда S круга =0,785D 2 . А это, конечно меньше, чем D 2 . Утверждение верно
Присоединяйтесь к нам...
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице
Другие задачи из этого раздела
Задача №03A3EF
Площадь прямоугольного треугольника равна 722 √ 3 . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
Задача №9FCAB9
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.
Признаки равенства треугольников
Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.
Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними,
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки подобия треугольников
Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а
сходственные стороны пропорциональны: , 
, где
- коэффициент подобия.
I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.
II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).
Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 AB - общая сторона, AC = AC 1 , С = С 1 , однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.
В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.
Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 С = С 1 , AB = A 1 B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.
Прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1 . Учитывая, что С = С 1 , имеем равенство A = A 1 . Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1
AB = A 1 B 1 , A = A 1 , B = B 1 .
Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).
Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 (H = H 1 = 90 o ), в которых
AB = A 1 B 1 , B = B 1 , AH = A 1 H 1
(рис. 5). На продолжениях сторон BH и B 1 H 1 отложим неравные отрезки HC и H 1 C 1 . Тогда в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1
AB = A 1 B 1 , B = B 1 ,
высоты AH и A 1 H 1 равны, однако сами треугольники не равны.
Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1
AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,
медиана СM равна медиане С 1 M 1 (рис. 6). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.
Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M 1 D 1 = C 1 M 1 (рис. 6).
Четырехугольники ACBD и A 1 С 1 B 1 D 1 - параллелограммы. Треугольники ACD и A 1 C 1 D
ACD = A 1 C 1 D 1 .
Аналогично, треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам. Следовательно,
BCD = B 1 C 1 D 1 .
Значит, С = С 1 и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).
Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8). Проведем два диаметра AB и A 1 B 1 . Через точки A , A 1 , M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C , как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A 1 B 1 C
AB = A 1 B 1 , A = A 1 ,
медиана СM ABC и A 1 B 1 C не равны.
Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 , медиана BK равна медиане B 1 K 1 (рис. 9). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.
Точки O и O 1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2: 1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны по трем сторонам. Следовательно,
BAO = B 1 A 1 O 1 ,
значит, треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
ABC = A 1 B 1 C 1 .
Аналогично доказывается, что
BAC = B 1 A 1 C 1 .
Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 10).
Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.
Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O 1 и O 2 , касающиеся друг друга в точке M (рис. 11).
Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM , пересекающую вторую окружность в некоторой точке C . Проведем отрезок BC . Получим треугольник ABC . Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2: 1, считая от вершины C . Проведем окружность с центром в точке O , радиуса OC , пересекающую вторую окружность в точке C 1 . Проведем прямую C 1 M и обозначим A 1 ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K 1 точку пересечения хорды A 1 B и прямой C 1 O . В треугольниках ABC и A 1 BC 1 A = A 1 , медианы CK и C 1 K 1 равны, медиана BM - общая. Однако треугольники ABC и A 1 BC 1 не равны.
Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1
AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,
биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.
Продолжим стороны AC
и A
1 C
1
и отложим на их продолжениях отрезки CE
= BC
и C
1 E
1
= B
1 C
1 (рис. 12). Тогда 
Треугольники BCE и B 1 C 1 E 1 равны по трем сторонам. Значит, E = E 1 и BE = B 1 E 1 . Треугольники ABE и A 1 B 1 E 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.
Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).
Пример треугольников ABC и ABC 1 , изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.
Действительно, в треугольниках ABC и ABC 1 B - общий, AB - общая сторона, биссектрисы AD и AD 1 равны. Однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.
Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 15).
Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.
Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB , больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и M 1 . Проведем прямые BM , BM 1 и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 сторона AB - общая, высота BH - общая, медианы AM и AM 1 равны, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.
Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1 , медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны (рис. 17). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, F A = F A 1 и AH = A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники CMH и C 1 M 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M 1 H 1 , откуда AM = A 1 M 1 , значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны медианы AK и A 1 K 1 , BL и B 1 L 1 , CM и C 1 M 1 (рис. 18). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.
Пусть O и O 1 - точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O 1 M 1 треугольников ABO и A 1 B 1 O 1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.
По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны, значит, AB = A 1 B 1 .
Аналогично доказывается, что BC = B 1 C 1 и AC = A 1 C 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.
Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.
Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны высоты AH и A 1 H 1 , BG и B 1 G 1 , CF и C 1 F 1 (рис. 19). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.
Обозначим стороны треугольников соответственно a , b , c и a 1 , b 1 , c 1 , а соответствующие высоты h a , b b , h c и h 1a , h 1b , h 1c . Имеют место равенства ah a = bh b = ch c и a 1 h 1a = b 1 h 1b = c 1 h 1c . Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.
