1. В данном вопросе мы ограничимся рассмотрением движения заряженной частицы в однородных постоянных полях.

В магнитном поле сила Лоренца будет иметь только одну магнитную составляющую

которая всегда перпендикулярна траектории движения и поэтому работы не совершает, а только искривляет траекторию, не изменяя величину скорости. Такого рода силы называются гироскопическими.

В общем случае скорость частицы составляет угол с вектором(рис. 3) и ее можно разложить на два вектора (параллельно и перпендикулярно вектору )

где , , а само движение частицы можно представить в виде наложения двух движений с этими скоростями.

Рассмотрим сначала движение частицы со скоростью , параллельной вектору магнитной индукции. В этом случае , и частица движется вдоль силовой линии магнитного поля.

Во втором движении со скоростью сила Лоренца не изменяется по величине и создает нормальное ускорение в плоскости, перпендикулярной вектору . Поэтому траектория такого движения пред-ставляет собой окружность радиуса r в этой плоскости. Условие движения по окружности, записанное на основе второго закона Ньютона,

позволяет найти радиус окружности и угловую скорость вращения частицы

которые называются циклотронным радиусом и циклотронной частотой.

Циклотронный радиус пропорционален импульсу частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и магнитной индукции. Циклотронная частота обратно пропорциональна массе частицы и пропорциональна ее заряду и магнитной индукции.

Направления вращения частиц с положительным и отрицательным зарядом взаимно противоположны из-за различия в направлениях силы Лоренца (рис. 2). В векторной форме циклотронную частоту можно записать в виде формулы

Для положительно заряженной частицы направление угловой скорости противоположно направлению вектора , для отрицательно заряженной частицы – совпадает с вектором .

2. В общем случае, когда частица участвует во вращательном движении вокруг направления вектора и в поступательном параллельно силовой линии, результирующее движение частицы будет происходить по винтовой линии. Для положительно заряженных частиц винтовая линия соответствует левому винту, для отрицательно заряженных – правому (рис. 4). Если векторы и направлены противоположно друг другу, то наоборот.

Данное движение используется в системах, фокусирующих электронный пучок в электронно-лучевых трубках. Дело в том, что шаг винтовой линии, определяемый произведением и периода обращения ,

для электронов, вылетающих из электронной пушки под разными углами к оси пучка, не зависит от угла из-за его малости ().

Поэтому все электроны, вылетевшие из электронной пушки под небольшими, но разными углами соберутся в одной точке через период обращения. Шаг винтовой линии можно изменять, варьируя величину магнитной индукции, что позволяет осуществлять фокусировку электронного луча на экране электронно-лучевой трубки.

Выводы.

1) Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, работы не совершает. Она вызывает вращательное движение частиц вокруг направления вектора магнитной индукции с угловой скоростью .

2) В общем случае заряженная частица движется по винтовой линии.

3. Магнитное поле двигающегося заряда

1. Пусть заряженная частица движется со скоростью относительно лабораторной системы отсчета K . В системе , которая движется вместе с частицей, магнитное поле отсутствует (), а электрическое поле описывается формулой

Это обычное электростатическое поле неподвижного точечного заряда.

В неподвижной системе отсчета , в соответствии с преобразованиями (5), (6), находим

Отсюда следует, что при медленных движениях заряженная частица создает в окружающем пространстве электрическое поле такое же, как неподвижная и магнитное с индукцией

При этом радиус-вектор проводится от заряда в точку наблюдения.

Проанализируем данное выражение. Величина вектора магнитной индукции

зависит обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда до рассматриваемой точки поля, прямо пропорционально величине заряда и его скорости. Но пространственное распределение магнитной индукции вокруг заряда сложнее, чем для электрического поля.

В формулу магнитной индукции входит синус угла между направлениями скорости и радиус-вектора , проведенного от заряда в точку наблюдения (рис. 5).

Магнитная индукция обращается в нуль на линии, проходящей через заряд параллельно вектору скорости (), и максимальна в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно вектору ().

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно вектору скорости и радиус-вектору (рис. 5).

Если, сохраняя угол a и длину вектора, повернуть радиус-вектор вокруг вектора скорости, то его конец опишет окружность. В каждой точке этой окружности вектор будет направлен по касательной к ней. Следовательно, такая окружность будет являться линией вектора (силовой линией магнитного поля).

Опыт показывает, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции полей

Магнитная индукция результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых различными источниками в этой точке.

2. Рассмотрим теперь магнитное поле, создаваемое в произвольной точке бесконечно малым отрезком тонкого проводника длины , по которому идет ток силой I .

Величина называется элементом тока. Направление вектора совпадает с направлением тока. Так как сила тока по определению , где S является площадью поперечного сечения проводника, то элемент тока можно выразить через плотность тока , где является объемом выделенного участка проводника. Здесь учтено, что векторы и совпадают по направлению.

Все носители заряда, находящиеся в этом элементе тока, движутся упорядоченно со средней скоростью и создают в данной точке пространства одинаковую магнитную индукцию. Поэтому результирующую магнитную индукцию, создаваемую всеми носителями заряда в произвольной точке, можем получить, умножив число носителей в элементе тока , где n – концентрация носителей заряда в проводнике, на магнитную индукцию , создаваемую одним носителем в этой точке

Здесь плотность тока выражена через среднюю скорость упорядоченного движения носителей заряда. Радиус–вектор проводится от элемента тока в точку наблюдения.

Полученное выражение называется законом Био-Савара-Лапласа. Оно позволяет рассчитать магнитное поле любой системы проводников, используя принцип суперпозиции

Штрихованные переменные относятся к точке интегрирования.

Сравнение формул (8) и (9) показывает, что конфигурация и распределение в пространстве магнитных полей элемента тока и движущегося заряда идентичны (рис. 6). Величина вектора магнитной индукции, создаваемого элементом тока, пропорциональна величине элемента тока, синусу угла между направлением тока и направлением на точку наблюдения и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения

Элемент тока создает максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной элементу тока, и не создает на прямой, проходящей через элемент тока, параллельно вектору . Линии вектора напряженности – суть окружности вокруг этой прямой.

Выводы.

1) Магнитное поле движущегося заряда является следствием движения заряженной частицы и ее электрического поля.

2) Магнитное поле элемента тока и движущегося заряда имеют одинаковое распределение силовой характеристики в пространстве. Это обусловлено тем, что электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц.

3) Элемент тока и движущийся заряд создают максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной направлению движения зарядов. Силовые линии в обеих случаях представляют собой окружности, перпендикулярные касательной к траектории движения. Магнитное поле не создается на прямой, касательной к траектории движения зарядов.

4) Магнитная индукция обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Это обусловлено распределением в пространстве электрического поля заряженной частицы и преобразованием его в магнитное поле при движении.

Если частица, обладающая зарядом е, движется в пространстве, где имеется электрическое поле с напряжённостью E то на неё действует сила eE. Если, кроме электрического, имеется магнитное поле, то на частицу действует ещё сила Лоренца, равная e , где u - скорость движения частицы относительно поля, B - магнитная индукция. Поэтому согласно второму закону Ньютона уравнение движения частиц имеет вид:

Написанное векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения, каждое из которых описывает движение вдоль соответствующей координатной оси.

В дальнейшем мы будем интересоваться только некоторыми частными случаями движения. Предположим, что заряженные частицы, двигавшиеся первоначально вдоль оси Х со скоростью попадают в электрическое поле плоского конденсатора.

Если зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать электрическое поле между пластинами однородным. Направляя ось Y параллельно полю, мы имеем: . Так как магнитного поля нет, то. В рассматриваемом случае на заряженные частицы действует только сила со стороны электрического поля, которая при выбранном направлении координатных осей целиком направлена по оси Y. Поэтому траектория движения частиц лежит в плоскости XY и уравнения движения принимают вид:

Движение частиц в этом случае происходит под действием постоянной силы и подобно движению горизонтально брошенного тела в поле тяжести. Поэтому ясно без дальнейших расчетов, что частицы будут двигаться по параболам.

Вычислим угол , на который отклонится пучок частиц после прохождения через конденсатор. Интегрируя первое из уравнений (3.2), находим:

Интеграция второго уравнения даёт:

Так как при t=0 (момент вступления частицы в конденсатор) u(y)=0, то c=0, и поэтому

Отсюда получаем для угла отклонения:

Мы видим, что отклонение пучка существенно зависит от величины удельного заряда частиц e/m

§ 72. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Представим себе заряд , движущийся в однородноммагнитном поле со скоростью v, перпендикулярной к В. Магнитная сила сообщает заряду перпендикулярное к скорости ускорение

(см. формулу (43.3); угол между v и В прямой). Это ускорение изменяет лишь направление скорости, величина же скорости остается неизменной. Следовательно, и ускорение (72.1) будет постоянным по величине. При этих условиях заряженная частица движется равномерно по окружности, радиус которой определяется соотношением Подставив сюда значение (72.1) дляи решив получившееся уравнение относительно R, получим

Итак, в случае, когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости, в которой происходит движение, траектория частицы является окружностью. Радиус этой окружностизависит от скорости частицы, магнитной индукции поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношениеназывается удельным зарядом.

Найдем время Т, затрачиваемое частицей на один оборот. Для этого разделим длину окружности на скорость частицы v. В результате получим

Из (72.3) следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и магнитной индукцией поля.

Выясним характер движения заряженной частицы в случае, когда ее скорость образует с направлением однородного магнитного поля угол а, отличный от прямого. Разложим вектор v на две составляющие; - перпендикулярную к В и- параллельную В (рис. 72.1). Модули этих составляющих равны

Магнитная сила имеет модуль

и лежит в плоскости, перпендикулярной к В. Создаваемое этой силой ускорение является для составляющей нормальным.

Составляющая магнитной силы в направлении В равна нулю; поэтому повлиять на величину эта сила не может. Таким образом, движение частицы можно представить как наложение двух движений: 1) перемещения вдоль направления В с постоянной скоростьюи 2) равномерного движения поокружности в плоскости, перпендикулярной к вектору В. Радиус окружности определяется формулой (72.2) с заменой v на .Траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением В (рис. 72.2). Шаг линии можно найти, умноживна определяемый формулой (72.3) период обращения Т:

Направление, в котором закручивается траектория, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, траектория закручивается против часовой стрелки. Траектория, по которой движется отрицательно заряженная частица, закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на траекторию вдоль направления В; частица при этом летит от нас, если и на нас, если).

16. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле. Применение электронных пучков в науке и технике: электронная и ионная оптика, электронный микроскоп. Ускорители заряженных частиц.

Введём понятие элементарной частицы как объекта , механическое состояние которого полностью описывается заданием трех координат и трех компонент скорости его движения как целого. Изучению взаимодействий элементарных частиц с э.м. полем предпошлем некоторые общие соображения, относящиеся к понятию “частицы” в релятивистской механике.

Взаимодействие частиц друг с другом описывается (и описывалось до теории относительности) с помощью понятия силового поля. Каждая частица создает вокруг себя поле. На всякую другую частицу, находящуюся в этом поле, действует сила. Это касается как заряженных частиц, взаимодействующих с э.м. полем, так и не имеющих заряда массивных частиц, находящихся в гравитационном поле.

В классической механике поле являлось лишь некоторым способом описания взаимодействия частиц как физического явления . Положение вещей существенным образом меняется в теории относительности из-за конечной скорости распространения поля. Силы, действующие в данный момент на частицу, определяются их расположением в предшествующее время . Изменение положения одной из частиц отражается на других частицах лишь спустя некоторый промежуток времени. Поле становится физической реальностью, через посредство которой осуществляется взаимодействие частиц . Мы не можем говорить о непосредственном взаимодействии частиц, находящихся на расстоянии друг от друга. Взаимодействие может происходить в каждый момент лишь между соседними точками пространства (близкодействие). Поэтому можно говорить о взаимодействии частицы с полем и о последующем взаимодействии поля с другой частицей .

В классической механике можно ввести понятие абсолютно твердого тела , которое ни при каких условиях не может быть деформировано. Однако в невозможности существования абсолютно твердого тела легко убедиться с помощью следующего рассуждения, основанного на теории относительности.

Пусть твердое тело внешним воздействием в какой-нибудь одной его точке приводится в движение. Если бы тело было абсолютно твердым , то все его точки должны были бы прийти в движение одновременно с той, которая подверглась воздействию. (В противном случае тело должно было бы деформироваться). Теория относительности, однако, делает это невозможным, так как воздействие от данной точки передается к остальным с конечной скоростью, а потому все точки тела не могут одновременно начать двигаться. Поэтому под абсолютно твердым телом следует подразумевать тело, все размеры которого остаются неизменными в системе отсчета, где оно покоится.

Из сказанного выше вытекают определенные выводы, относящиеся к рассмотрению элементарных частиц . Очевидно, что в релятивистской механике частицам, которые мы рассматриваем как элементарные , нельзя приписывать конечных размеров. Другими словами, в пределах строгой специальной теории относительности элементарные частицы не должны иметь конечных размеров и, следовательно, должны рассматриваться как точечные.

17. Собственные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение.

Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности Е ииндукции В.

Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

В неограниченном пространстве или в системах с потерями энергии(диссипативных) возможны собственные Э. к. с непрерывным спектром частот.

18. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

лектромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной систему , называемой LCR – контур (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3.

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура:

коэффициент затухания

Это дифференциальное уравнение, описывающее колебания заряда конденсатора. Введем обозначения: Величину β также как и в случае механических колебаний называют коэффициентом затухания , а ω 0 – собственной циклической частотой колебаний. С введенными обозначениями уравнение (3.45) примет вид Уравнение (3.47) полностью совпадает с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с вязким трением (формула (4.19) из раздела "Физические основы механики"). Решение этого уравнения описывает затухающие колебания вида q(t) = q 0 e -bt cos(wt + j) (3.48) где q 0 – начальный заряд конденсатора, ω = – циклическая частота колебаний, φ – начальная фаза колебаний. На рис. 3.17 показан вид функции q(t). Такой же вид имеет и зависимость напряжения на конденсаторе от времени, так как U C = q/C.

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ

(от лат. decrementum - уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) - количественнаяхарактеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральныйлогарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту жесторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону (где постоянная величина- коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X 1 и X 2 (условно наз. "амплитудами" колебаний) разделены промежутком времени (условно наз. "периодом" колебаний), то, а Д. з..

Так, напр., для механич. колебат. системы, состоящей из массы т, удерживаемой в положении равновесияпружиной с коэф. упругости k и испытывающей трение силой F T , пропорциональной скорости v (F Т =-bv, гдеb - коэф. пропорциональности), Д. з.

При малом затухании . Аналогично для электрич. контура, состоящего изиндуктивностиL , активного сопротивления R и ёмкости С, Д. з.

.

При малом затухании .

Для нелинейных систем закон затухания колебаний отличен от закона , т. е. отношение двухпоследующих "амплитуд" (и логарифм этого отношения) не остаётся постоянным; поэтому Д. з. не имееттакого определ. смысла, как для систем линейных.

Добро́тность - параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. Обозначается символом от англ. quality factor .

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

19. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс.

Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника. Внешним источником ЭДС в электрических цепях являются генераторы переменного тока, работающие на электростанциях.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону: При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение (2) При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение (3) Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению (4) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями . Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x 0 если механические колебания равно F 0 /m, в случае электромагнитных колебаний - U m /L). Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х 0 e iωt: (6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде Подставляя выражение для s и его производных (и) в выражение (6), найдем (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s 0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω 0 2 - ω 2 - 2iδω) Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: где (8) (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения (12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

Рис.1

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω 0 2 = 1/(LC) и δ = R/(2L) : (13) Продифференцировав Q=Q m cos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях: (14) где (15) Уравнение (14) может быть записано как где φ = α – π/2 - сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13) (16) Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС). Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.

Резона́нс (фр. resonance , от лат. resono «откликаюсь») - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частотысобственных колебаний с частотой колебаний вынуждающей силы. Увеличение амплитуды - это лишь следствие резонанса, а причина - совпадение внешней (возбуждающей) частоты с некоторой другой частотой, определяемой из параметров колебательной системы, таких как внутренняя (собственная) частота, коэффициент вязкости и т. п. Обычно резонансная частота не сильно отличается от собственной нормальной, но далеко не во всех случаях можно говорить об их совпадении.

20. Электромагнитные волны. Энергия электромагнитной волны. Плотность потока энергии. Вектор Умова-Пойнтинга. Интенсивность волны.

ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНЫЕ ВО́ЛНЫ, электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве сконечной скоростью, зависящей от свойств среды. Электромагнитной волной называютраспространяющееся электромагнитное поле (см . ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ).

влетает в плоский конденсатор под углом (= 30 град) к отрицательно заряженной пластине или под углом () к положительно заряженной пластине, на расстоянии = 9 мм., от отрицательно заряженной пластины.

Параметры частицы.

m - масса, q - заряд, - начальная скорость, - начальная энергия;

Параметры конденсатора.

D - расстояние между пластинами, - длина стороны квадратной пластины, Q - заряд пластины, U - разность потенциалов, C - электроемкость, W - энергия электрического поля конденсатора;

Построить зависимость:

зависимость скорости частицы от координаты “x”

а? (t) - зависимость тангенциального ускорения частицы от времени полета в конденсаторе,

Рис 1. Исходные параметры частицы.

Краткое теоретическое содержание

Вычисление параметров частицы

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства - создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Также частица обладает энергией.

Энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т.е

Вычисление параметров конденсатора

Конденсатор - это уединенный проводник, состоящий из двух пластинок, разделенных слоем диэлектрика (в данной задаче диэлектриком является воздух,). Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой принимают величину, пропорциональную заряду Q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками:

Также величина емкости определяется геометрией конденсатора, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. Если площадь обкладки S, а заряд на ней Q, то напряжение, поря между обкладками равна

а так как U=Ed, то емкость плоского конденсатора равна:

Энергия заряженного конденсатора выражается через заряд Q, и разность потенциалов между обкладками, воспользовавшись соотношением можно написать еще два выражения для энергии заряженного конденсатора, соответственно пользуясь данными формулами мы можем найти и другие параметры конденсатора: например

Сила со стороны поля конденсатора

Определим значение силы, действующей на частицы. Зная, что на частицу действуют: сила F е (со стороны поля конденсатора) и Р (сила тяжести), можно записать следующее уравнение:

где, т.к F e = Eq, E=U/d

P = mg (g - ускорение свободного падения, g = 9,8м/с 2)

Обе эти силы действуют в направлении оси Y, а в направлении оси ОХ они не действуют, то

А=. (2-й закон Ньютона)

Основные расчётные формулы:

1. Емкость плоского конденсатора:

2. Энергия заряженного конденсатора:

3. Энергия частицы:

конденсатор ион заряженный частица

Конденсатор:

1) Расстояние между пластинами:

0,0110625 м = 11,06 мм.

2) Заряд пластины

3) Разность потенциалов

4) Сила со стороны поля конденсатора:

6,469*10 -14 Н

Сила тяжести:

P=mg=45,5504*10 -26 Н.

Значение очень мало, поэтому ей можно пренебречь.

Уравнения движения частицы:

ax=0; a y =F/m=1,084*10 -13 /46,48·10 -27 =0,23*10 13 м/c 2

1) Начальная скорость:

Зависимость V(x):

V x =V 0 cos? 0 =4?10 5 cos20 0 =3,76?10 5 м/c

V y (t)=a y t+V 0 sin ? 0 =0,23?10 13 t+4?10 5 sin20 0 =0,23?10 13 t+1,36?10 5 м/с

X(t)=V x t; t(x)=x/V x =x/3,76?10 5 с;

=((3,76*10 5) 2 +(1,37+

+(0,23 М10 13 /3,76?10 5)*х) 2) 1/2 = (3721*10 10 *х 2 +166*10 10 * х+14,14*10 10) 1/2

Найдем а(t):

Найдем предел t, т.к. 0

t max =1,465?10 -7 с

Найдем предел x, т.к. 0

l=0,5 м; x max

Графики зависимостей:

В результате расчетов мы получили зависимости V(x) и a(t):

V(x)= (3721*10 10 *х 2 +166*10 10 * х+14,14*10 10) 1/2

Используяe Excel, построим график зависимости V(x) и график зависимости a(t):

Вывод: В расчетно-графическом задании «Движение заряженной частицы в электрическом поле» рассматривалось движение иона 31 P + в однородном электрическом поле между обкладками заряженного конденсатора. Для его выполнения я ознакомился с устройством и основными характеристиками конденсатора, движением заряженной частицы в однородном магнитном поле, а также движением материальной точки по криволинейной траектории и рассчитал необходимые по заданию параметры частицы и конденсатора:

· D - расстояние между пластинами: d = 11,06 мм

· U - разность потенциалов; U = 4,472 кВ

· - начальная скорость; v 0 = 0,703·10 15 м/с

· Q - заряд пластины; Q = 0,894 мкКл;

Построенные графики отображают зависимости: V(x) - зависимость скорости частицы «V» от её координаты“x”, a(t)- зависимость тангенциального ускорения частицы от времени полета в конденсаторе, при этом учтено, что время полета конечно, т.к. ион заканчивает свое движение на отрицательно заряженной пластине конденсатора. Как видно из графиков эти не линейные они степенные.

Осаждение взвешенных в газе твердых и жидких частиц под действием электрического поля имеет преимущества по сравнению с другими способами осаждения. Действие электрического поля на заряженную частицу определяется величиной ее электрического заряда. При электроосаждении частицам небольших размеров удается сообщить значительный электрический заряд и, благодаря этому, осуществить процесс осаждения очень малых частиц, который невозможно провести под действием силы тяжести или центробежной силы.

Принцип электрической очистки воздуха (газов) от взвешенных частиц заключается в зарядке частиц с последующим их выделением из взвешивающей среды под воздействием электрического поля.

Физическая сущность электроосаждения состоит в том, что газовый поток, содержащий взвешенные частицы, предварительно ионизируют, при этом содержащиеся в газе частицы приобретают электрический заряд. Зарядка частиц в поле коронного разряда происходит под воздействием электрического поля и вследствие диффузии ионов. Максимальная величина заряда частиц размером более 0,5 мкм пропорциональна квадрату диаметра частиц, а частиц размером меньше 0,2 мкм - диаметру частиц.

При обычных условиях большая часть молекул газа нейтральна, т. е. не

несет электрического заряда того или иного знака; вследствие действия различных физических факторов в газе всегда имеется некоторое количество носителей электрических зарядов. К таким факторам относится сильный нагрев, радиоактивное излучение, трение, бомбардировка газа быстродвижущимися электронами или ионами и др.

Ионизация газа осуществляется двумя способами:

1) самостоятельно , при достаточно высокой разности потенциалов на электродах;

2) несамостоятельн о - в результате воздействия излучения радиоактивных веществ, рентгеновских лучей.

В промышленности электроосаждение взвешенных частиц из газа проводится таким образом, что газовый поток направляется внутрь трубчатых (или между пластинчатыми) положительных электродов, которые заземляются (рис. 2.6). Внутри трубчатых электродов натягиваются тонкие проволочные или стержневые электроды, являющиеся катодами.

Если в электрическом поле между электродами создать определенное напряжение, то носители зарядов, т. е. ионы и электроны, получают значительное ускорение, и при их столкновении с молекулами происходит ионизация последних. Ионизация заключается в том, что с орбиты нейтральной молекулы выбивается один или несколько внешних электронов. В результате происходит превращение нейтральной молекулы в положительный ион и свободные электроны. Этот процесс называется ударной ионизацией.

Рис. 2.6. Схемы электродов газоочистки

При прохождении ионизированного потока газа в электрическом поле между двумя электродами заряженные частицы под действием электрического поля перемещаются к противоположно заряженным электродам и оседают на них.

Часть межэлектродного пространства, прилегающая к коронирующему электроду, в которой происходит ударная ионизация, называется коронирующей областью. Остальная часть межэлектродного пространства, т. е. между коронирующим и осадительным электродами - называется внешней областью.

Вокруг коронирующего электрода наблюдается голубовато-фиолетовое свечение (корона). Коронный разряд сопровождается также тихим потрескиванием. При коронном разряде происходит выделение озона и оксидов азота.

Образовавшиеся в результате ударной ионизации ионы и свободные электроны под действием поля также получают ускорение и ионизируют новые молекулы. Таким образом, процесс носит лавинообразный характер. Однако по мере удаления от коронирующего электрода напряженность электрического поля уже недостаточна для поддержания высоких скоростей, и процесс ударной ионизации постепенно затухает.

Носители электрических зарядов, перемещаясь под действием электрического поля, а также в результате броуновского движения, сталкиваются с пылевыми частицами, взвешенными в газовом потоке, проходящем через электрофильтр, и передают им электрический заряд.

При ионизации образуются как положительные, так и отрицательные ионы: положительные ионы остаются вблизи «короны» у катода, а отрицательные направляются с большой скоростью к аноду, встречая и заряжая на своем пути взвешенные в газе частицы.

Большая часть взвешенных частиц, проходящих в межэлектродном пространстве, получает заряд, противоположный знаку осадительных электродов, перемещается к этим электродам и осаждается на них. Некоторая часть пылевых частиц, находящихся в сфере действия короны, получает заряд, противоположный знаку коронирующего электрода, и осаждается на этом электроде.

Если создать на электродах разность потенциалов (4…6) кВ/см, и обеспечить плотность тока (0,05…0,5) мА/м длины катода, то запыленный газ при пропускании его между электродами почти полностью освобождается от взвешенных частиц.

Рассмотрим основные зависимости, характеризующие электрическую очистку газов (воздуха) от пылевых частиц.

Основной закон взаимодействия электрических зарядов - закон Кулона

выражается формулой

F = k 1 (q 1 q 2 /r 2), (2.28)

где q 1 , q 2 - величины взаимодействующих точечных зарядов; r – расстояние между ними; k 1 - коэффициент пропорциональности (k 1 > 0).

Под точечными зарядами понимают заряды, находящиеся на телах любой формы, причем размеры тел малы по сравнению с расстоянием, на котором сказывается их действие.

Коэффициент пропорциональности k 1 зависит от свойств среды. Этот коэффициент может быть представлен в виде отношения двух коэффициентов

k 1 = k /ε (2.29)

где k - коэффициент; ε - безразмерная величина, называемая относительной диэлектрической проницаемостью среды. Для вакуума ε = 1.

Закон Кулона может быть выражен также

Коэффициент k в системе СИ принимают k = 1/4 π.ε 0 ; здесь ε 0 - электрическая постоянная.

Подставим эту величину в формулу (2.52.)

F = q 1 ∙q 2 /(4 π∙ε 0 ∙ε∙r 2), (2.31)

где ε 0 = 8,85∙10 -12 Кл 2 /(Н.м 2).

Для характеристики электрического поля применяют физическую величину - напряженность поля Е . Напряженностью в какой-либо точке электрического поля называют силу, с которой это поле действует на одиночный положительный заряд, помещенный в эту точку.

Коронный разряд возникает при определенной напряженности поля. Эта величина называется критической напряженностью и для отрицательной полярности электрода может быть определена по эмпирической формуле

Екр = 3,04(β + 0,0311 √β / r)10 6 , (2.32)

где r - радиус коронирующего электрода, м; β - отношение плотности газа в

рабочих условиях к плотности газа в стандартных условиях (t = 20 0 С; р = 1,013∙10 5 Па):

Здесь В - барометрическое давление, Па; р r - величина разрежения или абсолютного давления газов, Па; t - температура газов, °С.

Формула (2.54) предназначена для воздуха, но с некоторым приближением может применяться и для дымовых газов.

Напряжение поля на расстоянии x от оси коронирующего электрода:

где U - напряжение, приложенное к электродам; R 1 и R 2 - радиусы коронирующего и осадительного электродов.

Величина заряда q (кА), приобретаемого проводимой частицей сферической формы под воздействием электрического поля, рассчитывают по формуле:

q = 3∙π ∙ d ч 2 ∙ε ∙ E , (2.35)

где ε - диэлектрическая проницаемость среды; d ч - диаметр частицы; Е - напряженность электрического поля коронного разряда.

Величина заряда, приобретаемого электронепроводящей частицей:

где εч - относительная диэлектрическая проницаемость частицы.

Предельный заряд частиц диаметром более 1 мкм определяют по формуле

q пред =n e=0.19∙10 -9 r 2 E , (2.37)

где n - число элементарных зарядов; e - величина элементарного заряда, равная 1,6∙10 -19 Кл; r - радиус частицы, м; E - напряженность электрического поля, В/м.

Формула (2.59.) непосредственно применима, если диэлектрическая проницаемость вещества пыли е равна 2,5. Для многих веществ значение е значительно отличается: для газов е = 1; для гипса е = 4; для окислов металлов e =12. ..18; для металлов e = ∞.

Если е ≠2,5, то значение q пред, полученное по формуле (2.38.), умножают на поправку, представляющую собой отношение

D e =m/D e =2.5 , (2.39)

где De=m - значение D = 1 + 2(ε - 1)/(ε + 2) при e = m ; при ε = 2,5, D = 1,66; при ε = 1, D = 1.

В электрофильтре зарядка частиц происходит очень быстро: за время менее секунды заряд частиц приближается к своему предельному значению (табл. 2.5).

Таблица 2.4

Соотношение заряда частиц от времени зарядки

Скорость движения заряженных частиц пыли диаметром более 1 мкм в электрическом поле, м/с, можно определить по формуле

w ч = 10 -11 E 2 r/μ 0 (2.40)

где Е - напряженность электрического поля, В/м; r - радиус частицы, м; μ 0 - динамическая вязкость газа (воздуха), Па.с.

Скорость движения заряженных частиц пыли диаметром менее 1 мкм в электростатическом поле, м/с, может быть определена по формуле

w ч = 0,17.10 -11 E/μ 0 (2.41)

Скорость движения взвешенных частиц, получивших заряд, зависит от размера частиц и гидравлического сопротивления газовой среды.

Скорость осаждения частицы в электрическом поле при ламинарном режиме движения:

w ч = n∙ e 0 ∙ E x /(3π d ч ∙ μ 0) , (2.42)

где n - число зарядов, полученных частицей; e 0 - величина элементарного заряда; μ 0 - коэффициент динамической вязкости газового потока.

Время осаждения может быть найдено из уравнения:

где R - расстояние от оси коронирующего электрода до поверхности осадительного электрода; R 1 – радиус коронирующего электрода.

Величина w ч изменяется с изменением величины x .

Степень эффективности очистки в электрофильтре может быть определена по формуле полученной теоретическим путем

η = 1 – exp(- w Д f) , (2.44)

где w д - скорость движения (дрейфа) заряженных частиц к осадительному электроду, м/с; f - удельная поверхность осаждения, т. е. поверхность осадительных электродов, приходящаяся на 1 м 3 /с очищаемого газа (воздуха), м 2 .

Пыль с малой электрической проводимостью вызывает явление обратной «короны», которое сопровождается образованием положительно заряженных ионов, частично нейтрализирующих отрицательный заряд частиц, вследствие чего они теряют способность перемещаться к осадительному электроду и осаждаться. На проводимость пыли оказывает влияние состав газа и пыли. С повышением влажности газов удельное электрическое сопротивление пыли снижается. При высоких температурах газа понижается электрическая прочность межэлектродного пространства, что приводит к ухудшению улавливания пыли.

Движение заряженных частиц

Для движущейся частицы поле считается поперечным, если вектор ее скорости перпендикулярен линиям вектора напряженности электрического поля. Рассмотрим движение положительного заряда , влетевшего в электрическое поле плоского конденсатора с начальной скоростью (рис. 77.1).

Если бы электрическое поле отсутствовало (), то заряд попал бы в точку О экрана (действием силы тяжести пренебрегаем).

В электрическом поле на частицу действует сила , под действием которой траектория движения частицы искривляется. Частица смещается от первоначального направления и попадает в точку D экрана. Ее полное смещение можно представить в виде суммы смещений:

, (77.1)

где – смещение при движении в электрическом поле; – смещение при движении за пределами электрического поля.

Смещение есть расстояние, пройденное частицей в направлении, перпендикулярном пластинам конденсатора, под действием поля с ускорением

Так как в этом направлении в момент влета частицы в конденсатор скорость отсутствует, то

где t – время движения заряда в поле конденсатора.

В направлении на частицу силы не действуют, поэтому . Тогда

Объединяя формулы (77.2) – (77.4), находим:

За пределами конденсатора электрического поля нет, силы на заряд не действуют. Поэтому движение частицы происходит прямолинейно в направлении вектора , составляющего угол с направлением вектора первоначальной скорости .

Из рисунка 77.1 следует: ; , где – скорость, которую приобретает частица в направлении, перпендикулярном пластинам конденсатора за время движения его в поле.

Так как , то, учитывая формулы (77.2) и (77.4), получаем:

Из соотношений (77.6) и (77.7) находим:

Подставив выражения (77.5) и (77.8) в формулу (77.1), для полного смещения частицы получим:

Если учесть, что , то формулу (77.9) можно записать в виде

Из выражения (77.10) видно, что смещение заряда в поперечном электрическом поле прямо пропорционально разности потенциалов, поданной на отклоняющие пластины, и зависит также от характеристик движущейся частицы (, , ) и параметров установки (, , ).

Движение электронов в поперечном электрическом поле лежит в основе действия электронно-лучевой трубки (рис. 77.2), основными частями которой являются катод 1, управляющий электрод 2, система ускоряющих анодов 3 и 4, вертикально отклоняющие пластины 5, горизонтально отклоняющие пластины 6, флуоресцирующий экран 7.

Для фокусировки пучка заряженных частиц используют электронные электростатические линзы. Они представляют собой металлические электроды определенной конфигурации, на которые подается напряжение. Форму электродов можно подобрать так, что электронный пучок будет "фокусироваться" в некоторой области поля подобно световым лучам после прохождения через собирающую линзу. На рисунке 77.3 приведена схема электронной электростатической линзы. Здесь 1 – по-догревный катод; 2 – управляющий электрод; 3 – первый анод; 4 – второй анод; 5 – сечение эквипотенциальных поверхностей электростатического поля плоскостью рисунка.