В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".
четной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\)
.
График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :
Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos{(-x)}=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется нечетной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\)
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:
Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.
Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:
1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности - четная функция.
2) Произведение и частное двух функций разной четности - нечетная функция.
3) Сумма и разность четных функций - четная функция.
4) Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция.
5) Если \(f(x)\)
- четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in
\mathbb{R}\)
) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\)
.
6) Если \(f(x)\) - четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется периодической на \(X\)
, если для некоторого числа \(T\ne 0\)
выполнено \(f(x)=f(x+T)\)
, где \(x,
x+T\in X\)
. Наименьшее \(T\)
, для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.
У периодической функции любое число вида \(nT\) , где \(n\in \mathbb{Z}\) также будет являться периодом.
Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций \(f(x)=\sin x\)
и \(f(x)=\cos x\)
главный период равен \(2\pi\)
, у функций \(f(x)=\mathrm{tg}\,x\)
и \(f(x)=\mathrm{ctg}\,x\)
главный период равен \(\pi\)
.
Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:
\(\blacktriangleright\)
Область определения \(D(f)\)
функции \(f(x)\)
- это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\)
, при которых функция имеет смысл (определена).
Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in
Задание 1 #6364
Уровень задания: Равен ЕГЭ
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
имеет единственное решение?
Заметим, что так как \(x^2\)
и \(\cos x\)
- четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\)
, оно также будет иметь и корень \(-x_0\)
.
Действительно, пусть \(x_0\)
– корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\)
верно. Подставим \(-x_0\)
: \(2
(-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos
x_0)+a^2=0\)
.
Таким образом, если \(x_0\ne 0\) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\) . Тогда:
Мы получили два значения параметра \(a\) . Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.
1) Если \(a=0\) , то уравнение примет вид \(2x^2=0\) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\) . Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.
2) Если \(a=-\mathrm{tg}\,1\) , то уравнение примет вид \ Перепишем уравнение в виде \ Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(-\mathrm{tg}\,1\leqslant \mathrm{tg}\,(\cos x)\leqslant \mathrm{tg}\,1\) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm{tg}^2\,1; \mathrm{tg}^2\,1]\) .
Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm{tg}^2\,1\) .
Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\) . А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\ \mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.
Ответ:
\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)
Задание 2 #3923
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]
Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\) .
Ответ:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)
Задание 3 #3069
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \ имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача от подписчиков)
Задание 4 #3072
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень.
(Задача от подписчиков)
Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=7\sqrt{2x^2+49}\)
и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\)
.
Функция \(g(x)\)
является четной, имеет точку минимума \(x=0\)
(причем \(g(0)=49\)
).
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является убывающей, а при \(x0\)
второй модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(-9\)
, либо \(-3\)
. При \(x0\)
. Тогда уравнение примет вид \
Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение \((*)\)
может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\)
может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение \((*)\)
имеет два различных решения (положительных!, так как \(t\)
должно быть больше нуля) \(t_1\)
и \(t_2\)
, то, сделав обратную замену, мы получим: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_1\\
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Так как любое положительное число можно представить как \(\sqrt2\)
в какой-то степени, например, \(t_1=(\sqrt2)^{\log_{\sqrt2} t_1}\)
, то первое уравнение совокупности перепишется в виде \
Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение \((*)\)
должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение \((*)\)
будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.
Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.
1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \
2)
Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\)
). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin{cases} 12-a>0\\-(a-10)>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a
