Как упрощать алгебраические выражения. Сложные выражения с дробями

Материал этой статьи представляет собой общий взгляд на преобразование выражений, содержащих дроби. Здесь мы рассмотрим основные преобразования, которые характерны для выражений с дробями.

Навигация по странице.

Выражения с дробями и дробные выражения

Для начала проясним, с преобразованием выражений какого вида мы собрались разбираться.

В заголовке статьи фигурирует говорящее за себя словосочетание «выражения с дробями ». То есть, ниже речь пойдет о преобразовании числовых выражений и выражений с переменными, в записи которых присутствует хотя бы одна дробь .

Сразу заметим, что после выхода в свет статьи «преобразование дробей: общий взгляд » нам уже не интересны отдельные дроби. Таким образом, дальше мы будем рассматривать суммы, разности, произведения, частные и более сложные выражения с корнями, степенями, логарифмами, объединяет которые лишь наличие хотя бы одной дроби.

И еще оговоримся про дробные выражения . Это не то же самое, что выражения с дробями. Выражения с дробями – более общее понятие. Не каждое выражение с дробями есть дробное выражение. Например, выражение не является дробным выражением, хотя и содержит дробь, это целое рациональное выражение . Так что не стоит называть выражение с дробями дробным выражением, не будучи полностью уверенным, что оно является таковым.

Основные тождественные преобразования выражений с дробями

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

В данном случае можно раскрыть скобки , что даст выражение , в котором присутствуют подобные слагаемые и , а также −3 и 3 . После их приведения получим дробь .

Покажем краткую форму записи решения:

Ответ:

.

Работа с отдельными дробями

Выражения, о преобразовании которых мы говорим, отличаются от других выражений главным образом наличием дробей. А наличие дробей требует инструментов для работы с ними. В этом пункте мы обсудим преобразование отдельных дробей, входящих в запись данного выражения, а в следующем пункте перейдем к выполнению действий с дробями, составляющими исходное выражение.

С любой дробью, которая является составной частью исходного выражения, можно выполнять любое из преобразований, обозначенных в статье преобразование дробей . То есть, можно взять отдельную дробь, поработать с ее числителем и знаменателем, сократить ее, привести к новому знаменателю и т.д. Понятно, что при этом преобразовании выбранная дробь заменится тождественно равной ей дробью, а исходное выражение – тождественно равным ему выражением. Давайте рассмотрим пример.

Пример.

Преобразовать выражение с дробью к более простому виду.

Решение.

Преобразование начнем с того, что поработаем с дробью . Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе дроби: . Теперь напрашивается вынесение за скобки общего множителя x в числителе и последующее сокращение алгебраической дроби : . Остается лишь подставить полученный результат вместо дроби в исходное выражение, что дает .

Ответ:

.

Выполнение действий с дробями

Частью процесса преобразования выражений с дробями часто является выполнение действий с дробями . Они проводятся в соответствии с принятым порядком выполнения действий. Также стоит иметь в виду, что любое число или выражение всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1 .

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

К решению поставленной задачи можно подходить с разных сторон. Мы в контексте разбираемой темы пойдем путем выполнения действий с дробями. Начнем с умножения дробей:

Теперь произведение запишем в виде дроби со знаменателем 1 , после чего проведем вычитание дробей:

При желании и необходимости можно еще освободиться от иррациональности в знаменателе , на чем можно закончить преобразования.

Ответ:

Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.

Класс выражений с дробями очень широк. Такие выражения помимо собственно дробей, могут содержать корни, степени с различными показателями, модули, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Естественно, при их преобразовании применяются соответствующие свойства.

Применимо к дробям, стоит выделить свойство корня из дроби , свойство дроби в степени , свойство модуля частного и свойство логарифма разности .

Для наглядности приведем несколько примеров. Например, в выражении может быть полезно на базе свойств степени первую дробь заменить степенью , что в дальнейшем позволяет представить выражение в виде квадрата разности. При преобразовании логарифмического выражения можно логарифм дроби заменить разностью логарифмов, что в дальнейшем позволяет привести подобные слагаемые и тем самым упростить выражение: . Преобразование тригонометрических выражений может потребовать заменить отношение синуса к косинусу одного и того же угла тангенсом. Также возможно придется от половинного аргумента по соответствующим формулам переходить к целому аргументу, тем самым избавляясь от аргумента-дроби, например, .

Применение свойств корней, степеней и т.п. к преобразованию выражений более подробно освещено в статьях:

• Преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней ,
• Преобразование выражений с использованием свойств степеней ,
• Преобразование логарифмических выражений с использованием свойств логарифмов ,
• Преобразование тригонометрических выражений .

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Шаги

Важные определения

1. Подобные члены . Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.

   • Например, 3x 2 и 4x 2 - это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x 2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.

2. Разложение на множители . Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.

   • Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5.
   • Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x) .
   • Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.

3. Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.

   • Скобки
   • Степень
   • Умножение
   • Деление
   • Сложение
   • Вычитание

   Приведение подобных членов

   1. Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.

      • Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x .

   2. Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).

      • Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 - это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.

   3. Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.

      • 2x + 4x = 6х
      • 1 - 3 = -2

   4. Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.

      • В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2 , то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.

   5. Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.

      • Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Теперь , когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Вынесение множителя за скобки

   1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД - это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.

      • Например, рассмотрим уравнение 9x 2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.

   2. Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.

      • В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Получилось выражение 3x 2 + 9x - 1 . Оно не равно исходному выражению.

   3. Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.

      • В нашем примере: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).

      • Например, рассмотрим дробное выражение (9x 2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
        • Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить, и вы получите выражение: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x 2 + 9x - 1 .

   Дополнительные методы упрощения

   1. Упрощение дробных выражений. Как отмечалось выше, если и в числителе, и в знаменателе присутствуют одинаковые члены (или даже одинаковые выражения), то их можно сократить. Для этого нужно вынести за скобки общий множитель у числителя или у знаменателя, или как у числителя, так и у знаменателя. Или можно разделить каждый член числителя на знаменатель и таким образом упростить выражение.

      • Например, рассмотрим дробное выражение (5x 2 + 10x + 20)/10. Здесь просто разделите каждый член числителя на знаменатель (10). Но учтите, что член 5x 2 не делится на 10 нацело (так как 5 меньше 10).
        • Поэтому запишите упрощенное выражение так: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Упрощение подкоренных выражений. Выражения, стоящие под знаком корня, называются подкоренными выражениями. Они могут быть упрощены через их разложение на соответствующие множители и последующий вынос одного множителя из-под корня.

      • Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.

      • Например, рассмотрим выражение 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x 7 + x 2
      • Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
        • Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8 .
        • Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x 2 .

Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах

Преобразование дроби в десятичное число

Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или

Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.

Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,

Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,

Преобразование смешанной дроби в неправильную

Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть

При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей

Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)

Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное. Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Учение без принуждения

(Путеводитель в увлекательный мир математики)

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)

Так как же учить математику?

Этот вопрос интересует многих.

Первым делом нужно ликвидировать пробелы из прошлого. Если вы пропустили (не поняли, принципиально не изучали, и т.д.) какую-нибудь тему, рано или поздно вы обязательно наступите на эти грабли. С классическим результатом... Уж так устроена математика.

Независимо от того, изучаете вы новую тему, или повторяете старую - освойте математические определения и термины! Обратите внимание, я не говорю – «выучите», а говорю «освойте». Это разные вещи. Вы должны понимать, к примеру, что такое знаменатель, дискриминант, или арксинус на простом, даже примитивном уровне. Что это такое, зачем это нужно и как с этим обращаться. Жить станет легче.

Если я вас спрошу, как пользоваться устройством перехода через плотные ограниченные среды, вам будет неуютно отвечать, верно? А если вы понимаете, что это самое устройство - обычная дверь? Правда, как-то веселее.

И, конечно, нужно решать. Если не умеете решать - ничего страшного. Нужно пытаться решать, пробовать. Все когда-то не умели. Но кто пытался и пробовал, пусть и неправильно, с ошибками - тот сейчас умеет решать. А кто не пробовал, не учился - тот так и не научился.

Вот вам три составляющие ответа на вопрос: "Как учить математику?" Ликвидировать пробелы, освоить термины на понятном уровне и осмысленно решать задания.

Если вам математика представляется дебрями каких-то правил, формул, выражений, в которых невозможно ориентироваться, то я вас утешу. Есть там тропы и путеводные звезды! Обживетесь, попривыкнете, еще и любоваться этими дебрями начнете…

Математика школьного курса не решает сложные примеры, так как не умеет. Она хорошо может решить что-нибудь вида 5х = 10, квадратное уравнение через дискриминант, ну и такое же простое из тригонометрии, логарифмов и т.д. И вся мощь математики направлена на упрощение сложных выражений. Именно для этого нужны правила и формулы различных преобразований. Они позволяют записывать исходное выражение в другом, удобном нам виде, не меняя его сущности.

«Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». (А. Пуанкаре)

Например, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Это всё одно и то же число 8! Только записано в самых разных видах. Какой вид выбрать - решать нам! Сообразуясь с заданием и здравым смыслом.

Главной путеводной звездой в математике является умение преобразовывать выражения. Практически любое решение начинается с преобразования исходного выражения. С помощью правил и формул, которых вовсе не такое безумное количество, как вам кажется.

Мы часто говорим «Все формулы работают слева – направо и справа – налево». Скажем, (a + b) почти каждый распишет как a + 2ab + b . Но не каждый (к сожалению) сообразит, что x + 2x + 1 можно записать, как (x + 1) . А вот это надо уметь! Формулы нужно знать в лицо! Уметь опознавать их в зашифрованных хитрыми преподавателями выражениях, выявлять части формул, доводить, при необходимости, до полных.

Преобразования выражений – вещь, поначалу, хлопотная. Требует труда. На стартовом этапе нужно проверять, где можно, правильность преобразования обратным преобразованием. Разложили на множители – перемножьте обратно и приведите подобные. Получилось исходное выражение – ура! Нашли корни уравнения – подставьте в исходное выражение. Посмотрите, что получилось. И так далее.

Итак, я приглашаю вас в удивительный мир математики. А начнём наш путь со знакомства с дробями, так это, пожалуй, самое уязвимое место большинства школьников.

В добрый путь!

Занятие 1.

Виды дробей. Преобразования.

Кто знает дроби, тот силён, тот в математике отважен!

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например: , , , .

Иногда вместо горизонтальной черты ставят наклонную черту: 1/2, 3/7, 19/5. Черта, и горизонтальная (винкулиум), и наклонная (солидус) означает одну и ту же операцию: деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо черты вполне можно поставить знак деления - две точки. 1/2 = 1: 2.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби 32/8 гораздо приятнее написать число 4. Т.е. 32 просто поделить на 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Я уж не говорю про дробь 4/1, которая тоже равна 4. А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например: 0,5; 3,28; 0,543; 23,32.

3. Смешанные числа , например: , , , .

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задаче и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру!

Наиболее универсальны обыкновенные дроби. С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буквы, это ничего не меняет. В том смысле, что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями!

Итак, вперёд! Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

А оно нам надо, все эти превращения? – спросите вы. Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей. Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходиться сокращать не дробь вида 5/10, а дробное рациональное выражение.

Обычно ученик не задумывается над делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение: .

Что мы делаем? Зачеркиваем множитель а сверху и степень снизу! Получаем: .

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на множитель а. Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть букву а в выражении и получить снова . Что будет категорически неверно: непростительная ошибка. Потому что здесь весь числитель на а уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя.

При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру, 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и, наоборот, без калькулятора! Это важно на ЦТ, правда?

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это нуль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обыкновенную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Например, 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не нуль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную.

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обыкновенная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в результате решения получилось 1/2? А ответ нужно записать десятичной…

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Получим 1/2 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели могут быть разными. Например, дробь 3/16. Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и при делении уголком мы получим 0,3333333... Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную!

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать пятиклассника и спросить у него. Но не всегда пятиклассник окажется рядом... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задаче вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники рассуждаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем: числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Легко? Тогда закрепите успех! Переведите эти смешанные числа , , в обыкновенные дроби. У вас должно получиться 10/3, 23/10 и 21/4.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать. Ну а если написано, к примеру, 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам!

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... страшные какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Может, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби? 0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. Ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги нашего занятия.

1. Дроби бывают трёх видов: обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем ошибиться при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

А теперь попробуйте применить теорию на практике.

Итак, решаем в режиме экзамена! Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний пример. И только потом смотрим ответы.

Решили? Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Ответы записаны в беспорядке, подальше от соблазна, так сказать...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рада за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет... Терпение и труд всё перетрут.