Comment trouver la ligne médiane d'un triangle. Comment trouver la longueur de la ligne médiane d'un triangle ? Comment trouver la ligne médiane d'un trapèze pour une figure isocèle

Une fonction continue est une fonction sans "sauts", c'est-à-dire une fonction pour laquelle la condition est satisfaite : de petits changements dans l'argument sont suivis de petits changements dans les valeurs correspondantes de la fonction. Le graphique d'une telle fonction est une courbe lisse ou continue.

La continuité à un point limite pour un ensemble peut être définie en utilisant le concept de limite, à savoir : une fonction doit avoir une limite à ce point qui est égale à sa valeur au point limite.

Si ces conditions sont violées en un point, la fonction est dite discontinue en ce point, c'est-à-dire que sa continuité est rompue. Dans le langage des limites, un point d'arrêt peut être décrit comme une inadéquation entre la valeur d'une fonction à un point d'arrêt et la limite de la fonction (si elle existe).

Le point d'arrêt peut être amovible, cela nécessite l'existence d'une limite de la fonction, mais pas la même que sa valeur en un point donné. Dans ce cas, il peut être "corrigé" à ce stade, c'est-à-dire étendu à la continuité.
Une image complètement différente est formée si la limite de la fonction dans celle donnée existe. Il existe deux points d'arrêt possibles :

du premier type - les deux limites unilatérales existent et sont finies, et la valeur de l'une d'entre elles ou des deux ne coïncide pas avec la valeur de la fonction en un point donné ;
du second type, lorsque l'une ou les deux limites unilatérales n'existent pas, ou que leurs valeurs sont infinies.

Propriétés des fonctions continues

La fonction obtenue à la suite d'opérations arithmétiques, ainsi que la superposition de fonctions continues sur leur domaine de définition, est également continue.
Si donné fonction continue, qui est positif en un point, alors il est toujours possible d'en trouver un voisinage suffisamment petit, sur lequel il conserve son signe.
De même, si ses valeurs en deux points A et B sont, respectivement, a et b, et que a est différent de b, alors pour les points intermédiaires il prendra toutes les valeurs de l'intervalle (a ; b). Nous pouvons en tirer une conclusion intéressante : si vous laissez l'élastique étiré se rétrécir pour qu'il ne s'affaisse pas (reste droit), alors l'un de ses points restera immobile. Et géométriquement, cela signifie qu'il existe une ligne passant par tout point intermédiaire entre A et B, qui coupe le graphique de la fonction.

On note quelques-unes des fonctions élémentaires continues (sur le domaine de leur définition) :

constant;
rationnel;
trigonométrique.

Entre les deux concepts fondamentaux en mathématiques - continuité et dérivabilité - il existe un lien inextricable. Il suffit de rappeler que pour qu'une fonction soit dérivable, elle doit être une fonction continue.

Si une fonction est dérivable en un point, alors elle y est continue. Cependant, il n'est pas du tout nécessaire que sa dérivée soit continue.

Une fonction qui a une dérivée continue sur un ensemble appartient à une classe distincte de fonctions lisses. En d'autres termes, il s'agit d'une fonction continûment différentiable. Si la dérivée a un nombre limité de points de discontinuité (uniquement du premier type), alors une telle fonction est dite lisse par morceaux.

Un autre concept important est la continuité uniforme d'une fonction, c'est-à-dire sa capacité à être également continue en tout point de son domaine de définition. Ainsi, c'est une propriété qui est considérée en un ensemble de points, et non en un en particulier.

Si nous fixons un point, nous n'obtenons rien de plus qu'une définition de la continuité, c'est-à-dire que de la présence d'une continuité uniforme, il s'ensuit que nous avons une fonction continue. D'une manière générale, l'inverse n'est pas vrai. Cependant, selon le théorème de Cantor, si une fonction est continue sur un ensemble compact, c'est-à-dire sur un intervalle fermé, alors elle est uniformément continue sur celui-ci.

La définition de la continuité d'une fonction en un point est donnée. Les définitions équivalentes selon Heine, selon Cauchy et en termes d'incréments sont considérées. Définition de la continuité unilatérale aux extrémités d'un segment. Déclaration de discontinuité. Des exemples sont analysés dans lesquels il est nécessaire de prouver la continuité d'une fonction en utilisant les définitions de Heine et Cauchy.

Contenu

Voir également: Limite d'une fonction - définitions, théorèmes et propriétés

Continuité à un point

Détermination de la continuité d'une fonction en un point
fonction f (X) appelé continue à x 0 Quartier U (x0) ce point, et si la limite quand x tend vers x 0 existe et est égal à la valeur de la fonction en x 0 :
.

On suppose ici que x 0 est le point final. La valeur d'une fonction ne peut être qu'un nombre fini.

Définition de continuité droite (gauche)
fonction f (X) appelé continue à droite (à gauche) au point x 0 , s'il est défini sur un voisinage droitier (gauche) de ce point, et si la limite droite (gauche) au point x 0 est égal à la valeur de la fonction en x 0 :
.

Exemples

Exemple 1

En utilisant les définitions de Heine et Cauchy, prouver que la fonction est continue pour tout x .

Soit un nombre arbitraire. Montrons que la fonction donnée est continue au point . La fonction est définie pour tout x . Par conséquent, il est défini en un point et dans l'un de ses voisinages.

Nous utilisons la définition de Heine

Nous utilisons . Soit une suite arbitraire convergeant vers : . En appliquant la propriété limite du produit de suites, on a :
.
Puisqu'il existe une suite arbitraire convergeant vers , alors
.
La continuité a été prouvée.

On utilise la définition de Cauchy

Nous utilisons .
Considérons le cas. On a le droit de considérer une fonction sur n'importe quel voisinage du point . Par conséquent, nous supposerons que
(P1.1) .

Appliquons la formule :
.
Considérant (A1.1), estimons :

;
(P1.2) .

En appliquant (A1.2), nous estimons valeur absolue différences:
;
(P1.3) .
.
D'après les propriétés des inégalités, si (A1.3) est vérifiée, si et si , alors .

Considérons maintenant un point. Dans ce cas
.
.

.
Cela signifie que la fonction est continue au point .

De manière similaire, on peut prouver que la fonction, où n est un nombre naturel, est continue sur tout l'axe réel.

Exemple 2

En utilisant prouver que la fonction est continue pour tout .

La fonction donnée est définie à . Montrons qu'elle est continue au point .

Considérons le cas.
On a le droit de considérer une fonction sur n'importe quel voisinage du point . Par conséquent, nous supposerons que
(P2.1) .

Appliquons la formule :
(P2.2) .
Laisser . Puis
.

En tenant compte de (A2.1), on fait une estimation :

.
Alors,
.

En appliquant cette inégalité et en utilisant (A2.2), on estime la différence :

.
Alors,
(P2.3) .

On introduit les nombres positifs et , en les reliant par des relations :
.
D'après les propriétés des inégalités, si (A2.3) est vérifiée, si et si , alors .

Cela signifie que pour tout positif, il y a toujours . Alors pour tout x satisfaisant l'inégalité , l'inégalité suivante est automatiquement satisfaite :
.
Cela signifie que la fonction est continue au point .

Considérons maintenant un point. Nous devons montrer que la fonction donnée est continue en ce point à droite. Dans ce cas
.
On entre des nombres positifs et :
.

Cela montre que pour tout positif, il y a toujours . Alors pour tout x tel que , l'inégalité suivante est vraie :
.
Cela signifie que . Autrement dit, la fonction est continue à droite au point .

De manière similaire, on peut prouver que la fonction , où n est un nombre naturel, est continue pour .

Les références:
O.I. Démons. Conférences sur l'analyse mathématique. Partie 1. Moscou, 2004.
LD Kudryavtsev. Bien analyse mathematique. Tome 1. Moscou, 2003.
CM. Nikolski. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 1983.

Voir également:

Continuité de fonctionnement. Points de rupture.

Un taureau marche, se balance, soupire en marche:
- Oh, la planche se termine, maintenant je vais tomber !

Dans cette leçon, nous analyserons le concept de continuité d'une fonction, la classification des points de discontinuité et un problème pratique courant étude d'une fonction de continuité. D'après le titre même du sujet, beaucoup devinent intuitivement ce qui sera discuté et pensent que le matériel est assez simple. C'est vrai. Mais ce sont des tâches simples qui sont le plus souvent punies pour négligence et une approche superficielle pour les résoudre. Par conséquent, je vous recommande d'étudier attentivement l'article et de saisir toutes les subtilités et techniques.

Que devez-vous savoir et être capable de faire ? Pas beaucoup. Pour une bonne expérience d'apprentissage, vous devez comprendre ce que limite de fonction. Les lecteurs de niveau faible préparation suffisante pour comprendre l'article Limites des fonctions. Exemples de solutions et de regarder signification géométrique limite dans le manuel Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Il est également conseillé de se familiariser avec transformations géométriques de graphes, puisque la pratique implique dans la plupart des cas la construction d'un dessin. Les perspectives sont optimistes pour tout le monde, et même une bouilloire pleine pourra faire face à la tâche par elle-même dans la prochaine heure ou deux !

Continuité de fonctionnement. Les points d'arrêt et leur classification

Le concept de continuité d'une fonction

Considérons une fonction continue sur toute la ligne réelle :

Ou, plus brièvement, notre fonction est continue sur (l'ensemble des nombres réels).

Qu'est-ce que le critère « philistin » de continuité ? Il est évident que le graphique d'une fonction continue peut être tracé sans lever le crayon du papier.

En même temps, il est important de distinguer deux notions simples: portée de la fonction et continuité de fonction. En général ce n'est pas la même chose. Par exemple:

Cette fonction défini sur toute la droite numérique, c'est-à-dire pour toutes les personnes la valeur de "x" a sa propre valeur de "y". En particulier, si , alors . Notez que l'autre point est perforé, car par définition de la fonction, la valeur de l'argument doit correspondre la seule chose valeur de la fonction. De cette façon, domaine nos fonctionnalités : .

mais cette fonction n'est pas continue ! Il est bien évident qu'au point où elle endure écart. Le terme est également assez intelligible et clair, en effet, ici le crayon devra de toute façon être arraché du papier. Un peu plus tard, nous examinerons la classification des points d'arrêt.

Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle

Dans un problème mathématique particulier, on peut parler de continuité d'une fonction en un point, de continuité d'une fonction sur un intervalle, demi-intervalle, ou de continuité d'une fonction sur un segment. C'est-à-dire, il n'y a pas de "juste continuité"– la fonction peut être continue QUELQUE PART. Et la "brique" fondamentale de tout le reste est continuité de fonction à ce point .

La théorie de l'analyse mathématique définit la continuité d'une fonction en un point à l'aide des voisinages "delta" et "epsilon", mais en pratique une autre définition est en usage, à laquelle nous prêterons une attention particulière.

Rappelons-nous d'abord limites unilatérales qui ont fait irruption dans nos vies dès le premier cours à propos des graphiques de fonctions. Considérez une situation quotidienne :

Si nous nous approchons le long de l'axe du point à gauche(flèche rouge), puis les valeurs correspondantes des "jeux" iront le long de l'axe jusqu'au point (flèche framboise). Mathématiquement, ce fait est fixé en utilisant limite gauche:

Faites attention à l'entrée (elle se lit "x tend vers ka à partir de la gauche"). "Additif" "moins zéro" symbolise , ce qui signifie essentiellement que nous approchons le nombre du côté gauche.

De même, si vous vous approchez du point "ka" sur la droite(flèche bleue), alors les "jeux" prendront la même valeur , mais le long de la flèche verte, et limite à droite sera formaté comme suit :

"Supplément" symbolise , et l'entrée se lit comme suit : "x tend vers ka à partir de la droite."

Si les limites unilatérales sont finies et égales(comme dans notre cas): , alors nous dirons qu'il y a une limite GÉNÉRALE . C'est simple, la limite totale est notre "habituel" limite de fonctionégal au nombre final.

Notez que si la fonction n'est pas définie à (couper le point noir sur la branche du graphique), alors les calculs listés restent valables. Comme cela a été souligné à plusieurs reprises, notamment dans l'article sur les fonctions infinitésimales, les expressions signifient que "x" infiniment proche s'approche du point, tandis que HORS DU SUJET si la fonction elle-même est définie au point donné ou non. Bon exemple se produira dans la section suivante lorsque la fonction sera analysée.

Définition: une fonction est continue en un point si la limite de la fonction en un point donné est égale à la valeur de la fonction en ce point : .

La définition est détaillée dans les termes suivants :

1) La fonction doit être définie au point , c'est-à-dire que la valeur doit exister.

2) Il doit y avoir une limite commune de la fonction. Comme indiqué ci-dessus, cela implique l'existence et l'égalité de limites unilatérales : .

3) La limite de la fonction en un point donné doit être égale à la valeur de la fonction en ce point : .

Si violé au moins un des trois conditions, alors la fonction perd la propriété de continuité au point .

Continuité d'une fonction sur un intervalle formulé spirituellement et très simplement : une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle donné.

En particulier, de nombreuses fonctions sont continues sur l'intervalle infini, c'est-à-dire sur l'ensemble des nombres réels. Il s'agit d'une fonction linéaire, polynômes, exposant, sinus, cosinus, etc. Et en général, tout fonction élémentaire continue sur sa domaines, par example, fonction logarithmique continue sur l'intervalle . J'espère moment présent vous avez une assez bonne idée de ce à quoi ressemblent les graphiques des fonctions principales. Pour plus d'informations sur leur continuité, voir Homme bon nommé Fichtenholtz.

Avec la continuité de la fonction sur le segment et les demi-intervalles, tout est aussi simple, mais il est plus approprié d'en parler dans la leçon sur la recherche des valeurs minimale et maximale d'une fonction sur un segment jusque-là, gardons la tête baissée.

Classement des points d'arrêt

La vie fascinante des fonctions est riche de toutes sortes de particularités, et les points de rupture ne sont qu'une des pages de leur biographie.

Noter : au cas où, je m'arrêterai à moment élémentaire: le point d'arrêt est toujours point unique- il n'y a pas "plusieurs points d'arrêt à la suite", c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'"intervalle de pause".

Ces points, à leur tour, sont divisés en deux grands groupes : ruptures de premier type et pauses du deuxième type. A chaque type de pause caractéristiques que nous allons voir tout de suite :

Point de discontinuité de première espèce

Si la condition de continuité est violée en un point et limites unilatérales fini , alors il s'appelle point de rupture du premier type.

Commençons par le cas le plus optimiste. Selon l'idée initiale de la leçon, je voulais raconter la théorie "en vue générale», mais afin de démontrer la réalité du matériau, il a opté pour une variante avec des acteurs spécifiques.

Malheureusement, comme une photo des jeunes mariés sur fond de flamme éternelle, mais le cadre suivant est généralement accepté. Traçons un graphique de la fonction dans le dessin :

Cette fonction est continue sur toute la droite numérique, à l'exception du point. En effet, le dénominateur ne peut pas être égal à zéro. Cependant, conformément au sens de la limite - on peut infiniment proche approchez "zéro" à la fois de la gauche et de la droite, c'est-à-dire que des limites unilatérales existent et, évidemment, coïncident :
(La condition de continuité n°2 est remplie).

Mais la fonction n'est pas définie au point , donc, la condition n° 1 de continuité est violée, et la fonction subit une rupture en ce point.

Une rupture de ce type (avec l'existant limite générale) sont appelés écart réparable. Pourquoi amovible ? Parce que la fonction peut redéfinir au point de rupture :

Est-ce que ça a l'air étrange? Peut-être. Mais une telle fonction record ne contredit rien ! Maintenant l'écart est comblé et tout le monde est content :

Faisons une vérification formelle :

2) – il existe une limite commune ;
3)

Ainsi, les trois conditions sont satisfaites et la fonction est continue en un point par la définition de la continuité d'une fonction en un point.

Cependant, les haineux de matan peuvent redéfinir la fonction dans le mauvais sens, par exemple :

Curieusement, les deux premières conditions de continuité sont satisfaites ici :
1) - la fonction est définie en un point donné ;
2) – il y a une limite commune.

Mais la troisième frontière n'a pas été dépassée : , c'est-à-dire la limite de la fonction au point inégal la valeur de la fonction donnée au point donné.

Ainsi, en un point, la fonction subit une discontinuité.

Le deuxième cas, plus triste, s'appelle rupture du premier type avec un saut. Et la tristesse est évoquée par des limites unilatérales qui fini et différent. Un exemple est montré dans le deuxième dessin de la leçon. Cet écart se produit généralement dans fonctions par morceaux déjà mentionné dans l'article. à propos des transformations de graphique.

Considérons une fonction par morceaux et exécuter son dessin. Comment construire un graphique ? Très simple. Sur le demi-intervalle, nous dessinons un fragment de la parabole (vert), sur l'intervalle - un segment de ligne droite (rouge) et sur le demi-intervalle - une ligne droite (bleu).

En même temps, en raison de l'inégalité, la valeur est déterminée pour la fonction quadratique (point vert), et en raison de l'inégalité, la valeur est déterminée pour fonction linéaire(point bleu):

Dans le cas le plus difficile, il faut recourir à la construction ponctuelle de chaque morceau du graphe (voir le premier leçon sur les graphes de fonctions).

Pour l'instant, nous ne nous intéressons qu'au point. Examinons-le pour la continuité :

2) Calculer les limites unilatérales.

Sur la gauche, nous avons un segment de ligne rouge, donc la limite à gauche est :

A droite se trouve la ligne droite bleue, et la limite à droite :

Par conséquent, nombres finis , et ils inégal. Parce que les limites unilatérales fini et différent: , alors notre fonction souffre discontinuité de première espèce avec un saut.

Il est logique que l'écart ne puisse pas être éliminé - la fonction ne peut pas vraiment être définie davantage et «non collée», comme dans l'exemple précédent.

Points de discontinuité de seconde espèce

Habituellement, tous les autres cas de rupture sont astucieusement attribués à cette catégorie. Je ne vais pas tout lister, car en pratique dans 99% des tâches que vous rencontrerez écart sans fin- lorsqu'on est gaucher ou droitier, et plus souvent, les deux limites sont infinies.

Et, bien sûr, l'image la plus évidente est une hyperbole à zéro. Ici, les deux limites unilatérales sont infinies : , donc, la fonction subit une discontinuité de seconde espèce au point .

J'essaie de remplir mes articles avec le contenu le plus diversifié, alors regardons le graphique de la fonction, qui n'a pas encore été vu :

selon le schéma standard :

1) La fonction n'est pas définie à ce stade car le dénominateur tend vers zéro.

Bien sûr, on peut immédiatement conclure que la fonction subit une rupture au point , mais il serait bien de classer la nature de la rupture, qui est souvent requise par condition. Pour ça:

Je vous rappelle qu'un enregistrement signifie nombre négatif infinitésimal, et sous l'entrée - nombre positif infinitésimal.

Les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité de 2ème espèce au point . L'axe y est asymptote verticale pour le graphique.

Il n'est pas rare que les deux limites unilatérales existent, mais une seule d'entre elles est infinie, par exemple :

C'est le graphique de la fonction.

Nous examinons le point de continuité :

1) La fonction n'est pas définie à ce stade.

2) Calculez les limites unilatérales :

Nous parlerons de la méthodologie de calcul de ces limites unilatérales dans les deux derniers exemples de la conférence, bien que de nombreux lecteurs aient déjà tout vu et tout deviné.

La borne de gauche est finie et égale à zéro (on « ne va pas au point lui-même »), mais la borne de droite est infinie et la branche orange du graphe est infiniment proche de la sienne asymptote verticale donnée par l'équation (ligne noire pointillée).

Ainsi, la fonction souffre rupture du deuxième type au point .

Comme pour une discontinuité de 1ère espèce, une fonction peut être définie au point de discontinuité lui-même. Par exemple, pour une fonction par morceaux mettre hardiment un point gras noir à l'origine. À droite se trouve une branche de l'hyperbole et la limite de droite est infinie. Je pense que presque tout le monde a imaginé à quoi ressemble ce graphique.

Ce que tout le monde attendait avec impatience :

Comment étudier une fonction de continuité ?

L'étude de la fonction de continuité en un point s'effectue selon le schéma de routine déjà roulé, qui consiste à vérifier trois conditions de continuité :

Exemple 1

Explorer la fonction

Solution:

1) Le seul point tombe sous le viseur, où la fonction n'est pas définie.

2) Calculez les limites unilatérales :

Les limites unilatérales sont finies et égales.

Ainsi, en un point, la fonction subit une discontinuité discontinue.

A quoi ressemble le graphique de cette fonction ?

je veux simplifier , et cela semble être une parabole ordinaire. MAIS la fonction d'origine n'est pas définie au point , la mise en garde suivante est donc requise :

Exécutons le dessin :

Réponse: la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point où elle subit une discontinuité.

La fonction peut être redéfinie dans le bon sens ou dans le mauvais sens, mais cela n'est pas requis par la condition.

Vous dites que l'exemple est tiré par les cheveux ? Pas du tout. C'est arrivé des dizaines de fois à l'entraînement. Presque toutes les tâches du chantier sont issues d'un véritable travail indépendant et de contrôle.

Décomposons nos modules préférés :

Exemple 2

Explorer la fonction pour la continuité. Déterminer la nature des interruptions de fonction, le cas échéant. Exécutez le dessin.

Solution: pour une raison quelconque, les étudiants ont peur et n'aiment pas les fonctions avec un module, bien qu'il n'y ait rien de compliqué à leur sujet. Nous avons déjà un peu abordé ces choses dans la leçon. Transformations de tracé géométrique. Comme le module n'est pas négatif, il se développe comme suit : , où "alpha" est une expression. Dans ce cas, , et notre fonction doivent signer par morceaux :

Mais les fractions des deux pièces doivent être réduites de . La réduction, comme dans l'exemple précédent, n'ira pas sans conséquences. La fonction d'origine n'est pas définie au point car le dénominateur disparaît. Par conséquent, le système doit en plus spécifier la condition , et rendre la première inégalité stricte :

Maintenant pour une astuce TRÈS UTILE: avant de finaliser la tâche sur un brouillon, il est avantageux de faire un dessin (qu'il soit requis par la condition ou non). Cela vous aidera, d'une part, à voir immédiatement les points de continuité et les points de rupture, et, d'autre part, cela vous évitera à 100% des erreurs lors de la recherche de limites unilatérales.

Faisons le tour. Conformément à nos calculs, à gauche du point, il est nécessaire de dessiner un fragment de la parabole (bleu) et à droite - un morceau de la parabole (rouge), tandis que la fonction n'est pas définie au point lui-même :

En cas de doute, prenez quelques valeurs "x", substituez-les dans la fonction (en se rappelant que le module détruit un éventuel signe moins) et vérifiez le graphique.

Nous étudions analytiquement la fonction de continuité :

1) La fonction n'est pas définie au point , on peut donc immédiatement dire qu'elle n'y est pas continue.

2) Établissons la nature de la discontinuité, pour cela nous calculons des limites unilatérales :

Les bornes unilatérales sont finies et différentes, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité de 1ère espèce avec un saut au point . Encore une fois, notez que lors de la recherche des limites, peu importe que la fonction au point d'arrêt soit définie ou non.

Il reste maintenant à transférer le dessin du brouillon (il a été fait, pour ainsi dire, à l'aide de la recherche ;-)) et à terminer la tâche:

Réponse: la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point où elle subit une discontinuité de première espèce avec un saut.

Parfois, il est nécessaire d'indiquer en plus le saut de discontinuité. Il est calculé de manière élémentaire - la limite gauche doit être soustraite de la limite droite : , c'est-à-dire qu'au point d'arrêt, notre fonction a sauté de 2 unités (ce dont nous parle le signe moins).

Exemple 3

Explorer la fonction pour la continuité. Déterminer la nature des interruptions de fonction, le cas échéant. Faites un dessin.

Ceci est un exemple d'auto-résolution, un exemple de solution à la fin de la leçon.

Passons à la version la plus populaire et la plus courante de la tâche, lorsque la fonction se compose de trois éléments :

Exemple 4

Étudiez la fonction pour la continuité et tracez le graphique de la fonction .

Solution: il est évident que les trois parties de la fonction sont continues sur les intervalles correspondants, il ne reste donc à vérifier que deux points de "jonction" entre les morceaux. Faisons d'abord un dessin sur un brouillon, j'ai commenté la technique de construction de manière suffisamment détaillée dans la première partie de l'article. La seule chose est de bien suivre nos points singuliers : du fait de l'inégalité, la valeur appartient à la droite (point vert), et du fait de l'inégalité, la valeur appartient à la parabole (point rouge) :

Eh bien, en principe, tout est clair =) Il reste à rédiger une décision. Pour chacun des deux points "butt", nous vérifions en standard 3 conditions de continuité :

JE) Nous examinons le point de continuité

Les bornes unilatérales sont finies et différentes, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité de 1ère espèce avec un saut au point .

Calculons le saut de discontinuité comme la différence entre les limites droite et gauche :
, c'est-à-dire que le graphique a sauté d'une unité.

II) Nous examinons le point de continuité

1) – la fonction est définie au point donné.

2) Trouvez des limites unilatérales :

– les limites unilatérales sont finies et égales, il existe donc une limite commune.

3) – la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de cette fonction en un point donné.

Au stade final, nous transférons le dessin sur une copie propre, après quoi nous mettons l'accord final:

Réponse: la fonction est continue sur toute la droite numérique, sauf au point où elle subit une discontinuité de première espèce avec un saut.

Exemple 5

Étudier une fonction de continuité et construire son graphique .

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même, solution courte et un échantillon approximatif de la conception de la tâche à la fin de la leçon.

On peut avoir l'impression qu'à un moment la fonction doit nécessairement être continue, et à un autre point il doit nécessairement y avoir une discontinuité. En pratique, ce n'est pas toujours le cas. Essayez de ne pas négliger les exemples restants - il y aura plusieurs fonctionnalités intéressantes et importantes :

Exemple 6

Étant donné une fonction . Étudiez la fonction de continuité aux points . Construire un graphique.

Solution: et à nouveau exécuter immédiatement le dessin sur le brouillon:

La particularité de ce graphe est que la fonction par morceaux est donnée par l'équation de l'axe des abscisses. Cette zone est représentée ici en vert, et dans un cahier, il est généralement mis en évidence en gras avec un simple crayon. Et, bien sûr, n'oubliez pas nos moutons: la valeur se réfère à la branche tangente (point rouge) et la valeur appartient à la ligne droite.

Tout ressort clairement du dessin - la fonction est continue sur toute la droite numérique, il reste à élaborer une solution qui est amenée à l'automatisme complet littéralement après 3-4 exemples similaires:

JE) Nous examinons le point de continuité

1) - la fonction est définie en un point donné.

2) Calculez les limites unilatérales :

, il existe donc une limite commune.

Juste pour chaque pompier, permettez-moi de vous rappeler un fait trivial : la limite d'une constante est égale à la constante elle-même. Dans ce cas, la limite de zéro est égale à zéro lui-même (la limite de gauche).

3) – la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de cette fonction en un point donné.

Ainsi, une fonction est continue en un point par la définition d'une fonction continue en un point.

II) Nous examinons le point de continuité

1) - la fonction est définie en un point donné.

2) Trouvez des limites unilatérales :

Et ici - la limite de l'unité est égale à l'unité elle-même.

– il y a une limite commune.

3) – la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de cette fonction en un point donné.

Ainsi, une fonction est continue en un point par la définition d'une fonction continue en un point.

Comme d'habitude, après l'étude, nous transférons notre dessin sur une copie propre.

Réponse: la fonction est continue aux points .

Veuillez noter que dans la condition, on ne nous a rien demandé sur l'étude de la fonction entière de continuité, et il est considéré comme une bonne forme mathématique pour formuler précis et clair réponse à la question posée. Soit dit en passant, si, selon la condition, il n'est pas nécessaire de construire un graphique, vous avez parfaitement le droit de ne pas le construire (bien que plus tard, l'enseignant puisse vous forcer à le faire).

Un petit "modèle" mathématique pour une solution indépendante :

Exemple 7

Étant donné une fonction . Étudiez la fonction de continuité aux points . Classer les points d'arrêt, le cas échéant. Exécutez le dessin.

Essayez de "prononcer" correctement tous les "mots" =) Et tracez le graphique plus précisément, précision, ce ne sera pas superflu partout ;-)

Comme vous vous en souvenez, je vous ai recommandé de dessiner immédiatement sur un brouillon, mais de temps en temps, il y a de tels exemples où vous ne pouvez pas immédiatement comprendre à quoi ressemble le graphique. Par conséquent, dans un certain nombre de cas, il est avantageux de trouver d'abord des limites unilatérales et ensuite seulement, sur la base de l'étude, de décrire les branches. Dans les deux derniers exemples, nous apprendrons également la technique de calcul de certaines limites unilatérales :

Exemple 8

Étudiez une fonction de continuité et construisez son graphe schématique.

Solution: les mauvais points sont évidents : (met le dénominateur de l'exposant à zéro) et (met à zéro le dénominateur de la fraction entière). On ne sait pas à quoi ressemble le graphique de cette fonction, ce qui signifie qu'il est préférable de faire des recherches en premier.

Définition. La fonction f(x) définie au voisinage d'un point x 0 est appelée continu en un point x 0 si la limite de la fonction et sa valeur en ce point sont égales, c'est-à-dire

Le même fait peut s'écrire différemment :

Définition. Si la fonction f(x) est définie dans un voisinage du point x 0 , mais n'est pas continue au point x 0 lui-même, alors elle est appelée discontinu fonction, et le point x 0 est le point d'arrêt.

Exemple de fonction continue :

0x0 -x 0x0 +x

P exemple de fonction discontinue :

Définition. La fonction f(x) est dite continue au point x 0 si pour tout nombre positif >0 il existe un nombre >0 tel que pour tout x satisfaisant la condition

véritable inégalité
.

Définition. La fonction f(x) est appelée continu au point x \u003d x 0, si l'incrément de la fonction au point x 0 est une valeur infinitésimale.

f(x) = f(x 0) + (x)

où (x) est infiniment petit en xx 0 .

Propriétés des fonctions continues.

1) La somme, la différence et le produit des fonctions continues au point x 0 est une fonction continue au point x 0.

2) Quotient de deux fonctions continues - est une fonction continue pourvu que g(x) ne soit pas égal à zéro au point x 0 .

3) La superposition de fonctions continues est une fonction continue.

Cette propriété peut s'écrire comme suit :

Si u = f(x), v = g(x) sont des fonctions continues au point x = x 0 , alors la fonction v = g(f(x)) est aussi une fonction continue en ce point.

La validité des propriétés ci-dessus peut être facilement prouvée en utilisant les théorèmes limites.

Continuité de certaines fonctions élémentaires.

1) La fonction f(x) = C, C = const est une fonction continue sur tout le domaine de définition.

2) Fonction rationnelle
est continue pour toutes les valeurs de x, sauf celles pour lesquelles le dénominateur tend vers zéro. Ainsi, une telle fonction est continue sur tout le domaine de définition.

3) Les fonctions trigonométriques sin et cos sont continues dans leur domaine de définition.

Démontrons la propriété 3 pour la fonction y = sinx.

Écrivons l'incrément de la fonction y = sin(x + x) - sinx, soit après transformation :

En effet, il existe une limite au produit de deux fonctions
et
. Dans ce cas, la fonction cosinus est une fonction bornée à х0
, et depuis

limite de la fonction sinus
, alors il est infiniment petit à х0.

Ainsi, il existe un produit d'une fonction bornée et d'une fonction infinitésimale, d'où ce produit, c'est-à-dire la fonction y est infiniment petite. Conformément aux définitions discutées ci-dessus, la fonction y \u003d sinx est une fonction continue pour toute valeur x \u003d x 0 du domaine de définition, car son incrément à ce point est une valeur infinitésimale.

Points de discontinuité et leur classification.

Considérons une fonction f(x) continue au voisinage du point x 0 , sauf peut-être pour ce point lui-même. Il découle de la définition du point d'arrêt d'une fonction que x = x 0 est un point d'arrêt si la fonction n'est pas définie en ce point, ou n'y est pas continue.

Il convient également de noter que la continuité d'une fonction peut être unilatérale. Expliquons-le de la manière suivante.

, alors la fonction est dite continue à droite.

Si limite unilatérale (voir ci-dessus)
, alors la fonction est dite continue à gauche.

Définition. Le point x 0 est appelé point de rupture fonction f(x) si f(x) n'est pas définie au point x 0 ou n'est pas continue en ce point.

Définition. Le point x 0 est appelé point de discontinuité de 1ère espèce, si à ce stade la fonction f(x) a des limites gauche et droite finies mais non égales.

Pour remplir les conditions de cette définition, il n'est pas nécessaire que la fonction soit définie au point x \u003d x 0, il suffit qu'elle soit définie à gauche et à droite de celle-ci.

De la définition, on peut conclure qu'au point de discontinuité de 1ère espèce, la fonction ne peut avoir qu'un saut fini. Dans certains cas particuliers, le point de discontinuité de 1ère espèce est parfois aussi appelé jetable point de rupture, mais plus à ce sujet ci-dessous.

Définition. Le point x 0 est appelé point de rupture du 2ème type, si à ce point la fonction f(x) n'a pas au moins une des limites unilatérales ou au moins l'une d'entre elles est infinie.

Continuité d'une fonction sur un intervalle et sur un segment.

Définition. La fonction f(x) est appelée continue sur l'intervalle (segment), s'il est continu en tout point de l'intervalle (segment).

Cela ne nécessite pas la continuité de la fonction aux extrémités du segment ou de l'intervalle, seule une continuité unilatérale est requise aux extrémités du segment ou de l'intervalle.

Propriétés des fonctions continues sur un intervalle.

Propriété 1 : (Le premier théorème de Weierstrass (Weierstrass Karl (1815-1897) - mathématicien allemand)). Une fonction continue sur un intervalle est bornée sur cet intervalle, c'est-à-dire la condition –M  f(x)  M est satisfaite sur le segment.

La preuve de cette propriété est basée sur le fait qu'une fonction qui est continue au point x 0 est bornée dans un certain voisinage de celle-ci, et si nous divisons le segment en un nombre infini de segments qui "se contractent" au point x 0 , alors un voisinage du point x 0 est formé.

Propriété 2 : Une fonction continue sur l'intervalle prend ses valeurs maximale et minimale.

Celles. il existe de telles valeurs de x 1 et x 2 que f (x 1) = m, f (x 2) = M, et

m  f(x)  M

On note ces valeurs maximales et minimales que la fonction peut prendre sur un segment et plusieurs fois (par exemple, f(x)=sinx).

La différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment est appelée hésitation fonctions sur le segment.

Propriété 3 : (Deuxième théorème de Bolzano-Cauchy). Une fonction qui est continue sur un segment prend sur ce segment toutes les valeurs comprises entre deux valeurs arbitraires.

Propriété 4 : Si la fonction f(x) est continue au point x = x 0 , alors il existe un voisinage du point x 0 dans lequel la fonction conserve son signe.

Propriété 5 : (Le premier théorème de Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Si la fonction f(x) est continue sur un segment et a des valeurs de signes opposés aux extrémités du segment, alors il existe un point à l'intérieur de ce segment où f(x) = 0.

Celles. si signe(f(a))  signe(f(b)), alors  x 0 : f(x 0) = 0.

Exemple.