Сила Р приложена в точке с координатами – х р, у р.
В этом случае говорят, что нагрузка по отношению к продольной оси z приложена с эксцентриситетом е (рис.8.2).
Напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле (8.3):
(8.3)
(+) перед выражением (8.3) соответствует внецентренному растяжению,
(–) - сжатию.
х, y – координаты точки, в которой определяются нормальные напряжения.
Условие прочности при внецентренном приложении нагрузки записывается для опасных точек А и В , наиболее удаленных от нейтральной линии.
(8.4)
Здесь - квадраты радиусов инерции.
R – расчетное сопротивление материала растяжения или сжатия.
8.2.2. Уравнение нейтральной линии
На нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю.
Приравняв нулю выражение (8.3) получим уравнения нейтральной линии
(8.5)
x N , y N – координаты точек, лежащих на нейтральной линии.
Решая полученное уравнение (8.5) в отрезках по осям координат, можно определить положение нейтральной линии.
(8.6)
8.2.3. Ядро сечения
Многие строительные материалы хорошо работают на сжатие и практически не воспринимают растягивающих деформаций: бетон, кирпичная кладка. Поэтому возникает задача определения такой области в поперечном сечении бруса, чтобы прикладываемая внутри нее нагрузка, вызывала по всему сечению напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Ядро сечения
– область, расположенная вокруг центра тяжести сечения, приложенная внутри которой нагрузка, вызывает по всему поперечному сечению напряжения одного знака.
Для построения ядра сечения задаются положениями нейтральной линии, совпадающей со сторонами сечения N i (х N и у N ) и в соответствии с формулой (8.5) определяют две координаты точки приложения силы соответствующей этой линии
Проведя по всему контуру сечения нейтральные линии, получим n точек. На основании теоремы о вращении нейтральной линии, соединив последовательно полученные точки, получим ядро сечения (рис. 8.3). Для прямоугольного поперечного сечения ядром сечения является ромб.
Устойчивость сжатых стержней
Общие положения
Явление потери устойчивости сжатого стержня наблюдается в том случае, когда при известной форме и размерах поперечного сечения его длина превышает определенное значение.
При потере устойчивости элемента происходит нарушение первоначальной прямолинейной формы равновесия.
Различают устойчивое (а ), безразличное (b ) и не устойчивое (с ) состояние равновесия (рис. 9.1).
 |
Продольный изгиб опасен тем, что происходит большое нарастание прогибов при малом росте сжимающей нагрузки.
Потеря устойчивости гибких стержней наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, которые с точки зрения прочности материала являются не опасными.
Для определения внутренних усилий, в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении (сжатии) заменим заданную систему сил на статически эквивалентную систему других сил. На основании принципа Сен-Венана такая замена не вызовет изменений в условиях нагружения и деформации частей бруса, достаточно удаленных от места приложения сил.
Сначала перенесем точку приложения силы на ось и приложим в этой точке силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу на оси, к ее действию необходимо добавить действие пары сил, отмеченных двумя чертами, или момент. Далее перенесем силу в центр тяжести сечения и в этой точке приложим силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу в центре тяжести, к ее действию необходимо добавить еще одну пару сил, отмеченных крестиками, или момент.
Таким образом, действие силы, приложенной к сечению внецентренно, эквивалентно совместному действию центрально приложенной силы и двух внешних сосредоточенных моментов и.
Пользуясь методом сечений, нетрудно установить, что во всех поперечных сечениях внецентренно растянутого (сжатого) бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила и два изгибающих момента и (рис.3.3).
Напряжения в поперечных сечениях бруса определим, используя принцип независимости действия сил. От всех внутренних силовых факторов в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения. Знаки напряжений устанавливают по характеру деформаций: плюс - растяжение, минус - сжатие. Расставим знаки напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в точках, пересечения осей и с контуром поперечного сечения (рис.3.3). От продольной силы во всех точках сечения одинаковы и положительны; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и, т.к. ось является в этом случае нейтральной линией; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и, т.к. ось в этом случае является нейтральной линией.
Полное напряжение в точке с координатами и, будет равно:
Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии. В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.
Определение положения нейтральной линии
Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (3.1), приравняв нормальные напряжения нулю
здесь и - координаты точки, лежащей на нейтральной линии.
Последнее выражение можно преобразовать, используя формулы для радиусов инерции: и. Тогда
Из уравнения (3.2) видно, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) - это прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести поперечного сечения).
Проведем эту прямую через две точки, лежащие на координатных осях (рис. 3.4). Пусть точка 1 лежит на оси, тогда ее координатами будет и, а точка 2 – на оси, тогда ее координатами будет и (на основании уравнения (3.2)).
Если координаты точки приложения силы (полюса) положительны, то координаты точек 1 и 2 отрицательны, и наоборот. Таким образом, полюс и нейтральная линия располагаются по разные стороны от начала координат.
Определения положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения, т.е. точки, в которых нормальные напряжения принимают наибольшие значения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (рис. 3.4).
Условия прочности для опасных точек составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен брус. Так как хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т.) и максимальные сжимающие (т.) напряжения (рис. 3.4)
Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, составляют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. В нашем случае такой точкой является точка, в которой действуют напряжения одного знака
Понятие о ядре сечения
При построении нейтральной линии (рис. 3.4) определялись координаты точек 1 и 2, через которые она и проводилась
Координаты точек, лежащих на нейтральной линии, зависят от положения точки приложения силы (полюса) с координатами. Если координаты полюса уменьшаются, т.е. полюс приближается к центру тяжести сечения, то увеличиваются, т.е. нейтральная линия может выйти за пределы сечения или касаться контура сечения. В этом случае в сечении будут иметь место напряжения одного знака.
Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения .
Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентренное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации растяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы, по формулам, вытекающим из (3.5).
Геометрическое место рассчитанных таким образом точек и определит контур ядра сечения. На рис. 3.6 показаны примеры ядра сечения для распространенных форм.
Рассмотрим пример расчетов на внецентренное растяжение-сжатие.
Пример 3.1. Стальная полоса шириной =10 см и толщиной =1 см, центрально растянутая силами =70 кН, имеет прорезь шириной =3 см (рис. 3.6). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении, не учитывая концентрации напряжений. Какой ширины могла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?
Решение. При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами (фигура I) из которого удален малый прямоугольник с размерами (фигура II). За исходную ось примем ось.
В этом случае в поперечном сечении возникает два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент.
С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 3.6). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).
Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.
где - площадь ослабленного сечения, равная =7 см 2 ;
Момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси
Расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т.)
В результате максимальные нормальные напряжения будут равны
При симметричной прорези шириной возникает только растяжение
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:где 
; 
;
y F , z F – координаты точки приложения силы F .
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
где 
и 
– отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [s c ] = [s p ] = [s ], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [s c ]¹[s p ], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z 1 , y 1 и z 2 , y 2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.лРис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (y F ®∞, z F ®∞), а у ®0; а z ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (y F ® 0 и z F ® 0), а у ®∞; а z ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами y F и z F по формулам:
; 
.
Полученные точки приложения силы с координатами y F , z F необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z , а также значения квадратов радиусов инерции i y , i z .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки a y и a z , отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления y F , и z F .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
| s |
| t |
| C |
| B |
| x |
| y |
| z |
| Рис. 8.9 |
| s |
| s |
| t |
| t |
| Рис. 8.10 |
| C |
| x |
| z |
| y |
| M |
| T |
| Рис. 8.8 |
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С , находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , 
, получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Расчет стержней при внецентренном сжатии-растяжении
Пример 1.
Чугунный короткий стержень сжимается продольной силой F = 600 кН, приложенной в точке В .
Требуется:
1. Определить положение нейтральной линии;
2. Вычислить наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения.
Решение.
1. Изобразим сечение в масштабе.
2. Определим положение главных центральных осей. Сечение обладает осью симметрии, поэтому ось Y можем показать сразу.
3. Определим положение центра тяжести фигуры (фи гура состоит из двух квадратов). Выберем произвольную вспомогательную систему координат.
х 1 С 1 Y – вспомогательная система координат;
определим координаты точек С 1 и С 2 в системе х 1 С 1 Y .
А 1 , А 2 – площадь первого и второго квадрата соответственно.
А = А 1 – А 2 – площадь всей фигуры.
А 1 = b 2 = 2500 см 2
С (х с = 0; у с = -5,89) – положение центра тяжести во вспомогательной системе координат х 1 С 1 Y .
Ось X проводим перпендикулярно оси Y через точку С .
Так как сечение симметричное, то XС Y – главная центральная система координат.
4. Определим главные центральные моменты инерции и квадраты главных радиусов сечения.
где а 1 = 5,89см – расстояние между осями Х и х 1 ;
а 2 = 5,89 + 17,68 = 23,57 – расстояние между осями Х и х 2 .
5. Определим координаты точки В (точки приложения силы) в главной центральной системе координат х с Су с.
6. Определим положение нейтральной линии.
,
где х N , у N – координаты точек нейтральной линии.
В данной задаче
Нейтральная линия проходит через точку (х N =0;у N =11,36) параллельно оси х с.
7. В данной задаче на стержень действует сжимающая сила, поэтому нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения будем определять по формуле
гдех, у – это координаты точки, в которой считают напряжения.
8. Наибольшие сжимающие напряжения достигаются в точке В . Эта точка,наиболее удаленная от нейтральной линии в области сжатия.
Наибольшее растягивающие напряжения достигаются в точках К и L y K = у L = 23,57 см.
Ответ:
, 
Пример 2.
Построить ядро сечения.
Решение.
1. Определяем тип контура ядра сечения.
2. Определяемчисло вершин многоугольника, получившегося внутри контура (то есть число предельных касательных к сечению стержня). 6 предельных касательных - 6 вершин.
3. Определяем положение главных центральных осей. Сечение обладает горизонтальной осью симметрии, поэтому ось «Х » можем показать сразу. ХО Y 0 – вспомогательная система координат (ось «Y 0 »проводим произвольно).
Сечение состоит из двух простых фигур (прямоугольника и квадрата). Определим координаты центров тяжести С 1 и С 2 в произвольной системе координат ХО Y 0 .
Центр тяжести прямоугольника.
Центр тяжести квадрата.
Площадь прямоугольника.
Площадь квадрата.
(так как С
1
и С
2 лежат на оси).
Центр тяжести всего сечения в системе координат ХО Y 0 имеет координаты С (0,015; 0). (Покажем на чертеже).
Ось Y проводим перпендикулярно оси Y 0 через центр тяжести С .
Так как сечение симметричное, то ось симметрии и ось ей перпендикулярная, проходящая через центр тяжести образуют главную центральную систему координат.
X, Y – главные центральные оси сечения.
4. Определяем геометрические характеристики сечения относительно главных центральных осей.
Вычисляем главные центральные моменты инерции J x и J y .
Главные центральные моменты инерции прямоугольника.
Главные центральные моменты инерции квадрата.
(здесь использовали формулы для определения моментов инерции относительно параллельных осей. Осевые моменты инерции плоского сечения относительно произвольных осей х 1 и у 1 , параллельных центральным осям х и у , определяют по формулам
;
где а, b – расстояния между осями х и х 1 , у и у 1 , А – площадь поперечного сечения. принимается, что х, у – центральные оси, то есть оси, проходящие через центр тяжести С плоского сечения).
Вычислим квадраты главных радиусов инерции
5. Определяем вершины ядра сечения.
Пусть известно положение нейтральной линии. Требуется определить координаты точки приложения силы.
1. Рассмотрим положение нейтральной линии 1 – 1.
Используем свойство нейтральной линии. Так как нейтральная линия 1–1 проходит параллельно оси Y , то точка приложения силы Я 1 находится на оси X , то есть у F =0.
х N – абсцисса точки нейтральной линии 1 – 1 (расстояние отточки С до нейтральной линии 1 – 1).
2. Рассмотрим положение нейтральной линии 2 – 2.
Возьмем две точки нейтральной линии 2 – 2 (лучше выбирать точки, где легко можно подсчитать координаты)
В (-0,615; 0,3)и D (-0,015; 0,6)
Подставим координаты точек В и D в уравнение нейтральной линии.
(1)
(2)
Решим систему уравнений (1) – (2)
Из первого уравнения
(3)
Подставим (3) в (2)
3. Рассмотрим положение нейтральной линии 3 – 3.
Используем свойство нейтральной линии. Так как нейтральная линия 3 – 3 проходит параллельно оси X , то точка приложения силы Я 3 находится на оси Y , то есть х F =0.
у N – ордината точки нейтральной линии 3 – 3 (расстояние от точки С до нейтральной линии 3 – 3).
4. Рассмотрим положение нейтральной линии 4 – 4.
Используем свойство нейтральной линии. Так как нейтральная линия 4 – 4 проходит параллельно оси Y , то точка приложения силы Я 4 находится на оси X , то есть у F = 0.
Пример 3 .
Жесткий стержень загружен двумя силами – растягивающей и сжимающей (рис. 1). Стержень выполнен из хрупкого материала с характеристиками и . Сечение стержня симметрично и имеет форму и размеры, соответствующие рис. 2.
Требуется:
1) найти допускаемую нагрузку на стержень из условия прочности, если отношение сжимающей и растягивающей сил
2) построить ядро сечения.
Рис.1Рис.2
Решение.
Положение главных центральных осей инерции и моменты инерции относительно этих осей заданного сечения найдены ранее (см. раздел «Геометрические характеристики плоских сечений»). Найдем внутренние усилия в произвольном сечении стержня:
Для
определения положения опасных точек построим нейтральную линию. Уравнение
нейтральной линии 
в данной задаче имеет вид
Отсюда найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях и . Если , то
и, если , то
Нейтральная линия показана на рис. 3.
Рис.3
Проведем
касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Опасными
являются точки 1 и 1¢
(см. рис. 3), наиболее отдаленные от нейтральной линии. Для хрупкого
материала более опасной является точка с максимальными растягивающими
напряжениями, т.е. точка 1. Найдем напряжение в этой точке, подставляя в
формулу 
координаты точки 1:
Условие прочности в точке 1 И ли
Отсюда можно найти допускаемое значение нагрузки (не забывайте правильно подставлять единицы измерения. Множитель перед F p в данном примере имеет размерность см -2).
В заключение необходимо убедиться в том, что и в точке 1¢ , которая в данном примере дальше удалена от нейтральной оси, чем точка 1, и в которой действуют сжимающие напряжения, условие прочности тоже выполняется, т.е.
Теперь
построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешних угловых точках сечения.
Учитывая симметрию сечения, достаточно расположить полюсы в трех точках: 1, 2 и
3 (см. рис. 3). Подставляя в формулы ; координаты полюсов, найдем отрезки,
отсекаемые нейтральными линиями на осях и . Если полюс находится в точке 1, то его координаты 
и
Нейтральная линия 1–1, соответствующая полюсу в точке 1 показана на рис. 3. Аналогично строим нейтральные линии 2–2 и 3–3, соответствующие полюсам 2 и 3. При построении нейтральной линии следите за тем, чтобы она проходила в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс. Область, заштрихованная на рис. 3, является ядром сечения. Для контроля на рис. 3 показан эллипс инерции. Ядро сечения должно находиться внутри эллипса инерции, нигде не пересекая его.
Пример 4.
Стержень несимметричного сечения сжимается силой, приложенной в точке А (рис. 1). Поперечное сечение имеет форму и размеры, показанные на рис. 2. Материал стержня – хрупкий.
Требуется:
1) найти допускаемую нагрузку, удовлетворяющую условию прочности;
2) построить ядро сечения.
Решение.
Прежде всего, надо определить моменты и радиусы инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Эта часть решения задачи приведена в разделе «Геометрические характеристики плоских сечений». На рис. 1 показаны главные центральные оси инерции сечения , , положение которых найдено ранее. В системе центральных осей Y , Z (рис.2) координаты точки приложения силы А , . Вычислим координаты точки А в системе главных центральных осей по формулам
.
Рис.1Рис.2
Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию, используя формулы ; . Радиусы инерции , найдены ранее.
Отложим эти отрезки вдоль главных осей и проведем через полученные точки нейтральную линию (см. рис. 3).
Рис.3
Опасными
точками, т.е. точками, наиболее удаленными от нейтральной оси, будут точки 1 и
3 (см. рис.3). В точке 1 действует наибольшее растягивающее напряжение. Запишем
условие прочности в этой точке, используя формулу 
:
Подставим в условие прочности координаты опасной точки 1 в главных осях, вычислив их по формулам
или измерив на
рисунке, выполненном в масштабе, 
Тогда из условия
прочности в точке 1 можно найти допускаемое значение нагрузки:
.
Для найденного значения допускаемой нагрузки необходимо убедиться, что условие прочности выполняется и в точке 3, которая дальше удалена от нейтральной линии и в которой д ействует сжимающее напряжение. Для определения напряжения в точке 3 подставим в формулу координаты этой точки
.
Это напряжение не должно превосходить . Если условие прочности в точке с максимальными сжимающими напряжениями выполняться не будет, надо найти значение допускаемой нагрузки заново из условия прочности в этой точке.
В заключение построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешние угловые точки сечения, т.е. в точки 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис. 3). Точка 4, находящаяся на контуре квадранта круга, получена следующим образом. Отсекая внутреннюю угловую точку , проводим линию, касательную к контуру сечения (пунктир на рис. 3). Точка 4 является точкой касания этой линией квадранта круга. Последовательно находим положение нейтральных линий, соответствующих полюсам в указанных точках, находя отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях , , по формулам ; .Например, если полюс находится в точке 1, то, подставляя в ; координаты точки 1 (), найдем
Поскольку существенно больше , то это значит, что нейтральная линия 1–1 практически параллельна оси . Отрезок откладываем в масштабе вдоль оси и проводим прямую 1–1, параллельную оси (см. рис. 3). Аналогично строим нейтральные линии, соответствующие полюсам, расположенным в других точках. Ядро сечения (заштрихованная область) показано на рис. 3. Отметим, что контур ядра сечения между нейтральными линиями 4–4 и 5–5 очерчен по кривой, т.к. переход полюса из точки 4 в точку 5 происходит не по прямой линии. На рис. 3 показан также эллипс инерции сечения, построенный ранее.
Пример 5.
На брус заданного поперечного сечения в точке D верхнего торца действует продольная сжимающая сила Р =300 кН (см. рис.). Требуется найти положение нулевой линии, определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения и построить ядро сечения.
Решение:
1. Нахождение положения главных центральных осей инерции и определение площади поперечного сечения
Так как поперечное сечение бруса (рис.1) имеет две оси симметрии, а они всегда проходят через центр тяжести сечения и являются главными, то главные центральные оси сечения х с и у с будут совпадать с этими осями симметрии.
Центр тяжести сечения С в этом случае определять не надо, так как он совпадает с геометрическим центром сечения.
Площадь поперечного сечения бруса равна:
2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции
Моменты инерции определяем по формулам:
Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:
3. Определение положения нулевой линии
Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:
где х р =2,3 см и у р =2 см – координаты точки приложения силы Р (точка Р рис.11). Отложив отрезки и соответственно на осях х с и у с и проводя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, на которой нормальные напряжения равны нулю (). На рис.1 эта линия обозначена n -n .
4. Определение наибольших сжимающих и растягивающих напряжений и построение эпюры напряжений
Точка D , координаты которой х D =5,25 см и у D =5 см, наиболее удалена от нулевой линии в сжатой зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле
Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К , имеющей координаты х к = ‑5,25 см, у к = ‑5 см.
По полученным значениям и строим эпюру нормальных напряжений (см. рис.11).
5. Построение ядра сечения
Для построения ядра сечения, учитывая, что сечение симметричное, рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I -I и II -II (см. рис.1).
Отрезки, отсекаемые
касательной I
-I
на осях координат,
равны: 
Координаты граничной точки 1 ядра сечения определяются по формулам:
Касательная II -II отсекает отрезки =5,25 см, =¥ .
Координаты граничной точки 2 :
Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, так как сечение бруса симметричное. Учитывая это для касательных III -III и IV -IV , координаты граничных точек 3 и 4 будут:
= 0; = 15,2× 10 -3 м;
=23,0× 10 -3 м = 0.
Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4прямыми получим ядро сечения (рис.1).
Пример 6.
В сечении, указанном на рисунке и принадлежащем внецентренно сжатой колонне, определить наиболее опасные точки и напряжения в них. Сжимающая сила F = 200 кН = 20 т приложена в точке A .
Решение.
Так как оси X и Y являются осями симметрии, то они главные центральные оси.
Наиболее опасными точками будут точки, в которых возникают максимальные нормальные напряжения, а это точки, наиболееудаленные от нулевой линии. Следовательно,нам необходимо сначала определить положение нулевой линии. Записываем уравнение нулевой линии.
В нашем случае координаты точки приложения силы следующие (см. рис.):
= – 90 мм = – 0,09 м;
= – 60 мм = – 0,06 м.
Квадраты радиусов инерции и определяются так:
здесь и - осевые моменты инерции относительно главных центральных осей X и Y.
Определение осевых моментов инерции. Для нашего сечения будем иметь:
М 4 ;
М 4 .
Площадь всего сечения будет равна:
М 2 ,
и тогда квадраты радиусов инерции:
м 2
;
м 2
.
По формулам определим отрезки, которые нулевая линия отсекает на осях X и Y :
м
;
м.
Отложим эти отрезки на координатных осях, получим точки, в которых нулевая линия пересекает координатные оси. Через эти точки проводим прямую (см. рис.). Видим, что наиболее удаленные точки - это точка B в зоне отрицательных напряжений и точка D в зоне положительных напряжений.
Определим напряжения в этих точках:
;
На основании чертежа (см. рис.) получим:
= – 0,12 м; = – 0,03 м.
= –5,39× 10 4 кН/м 2 = – 53,9 МПа.
;
0,12 м; = 0,03 м.
1,86× 10 4 кН/м 2 = 18,6 МПа.
Пример 7.
Чугунныйкороткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке, сжимается продольной силой F , приложенной в точке А .
Требуется:
1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F и размеры сечения; а = 40 мм, b = 60 мм;
2) найти допускаемую нагрузку F при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие = 100 МПа и на растяжение = 30 МПа.
Решение.
Выше указывалось, что геометрические характеристикиврасчетныхформулах берутсяотносительно главных центральных осей, поэтому определим центр тяжести сечения. Ось X является осью симметрии, и следовательно, она проходит через центр тяжести, поэтому намдостаточно найти его местоположение на этой оси.Разобьемсечениена два составных(1 и 2)ивыберемвспомогательные оси .Запишемкоординатыцентровтяжести С 1 и С 2 в этих осях.
Будем иметь С 1 (0,0); С 2 (0,04; 0), тогда:
м ;
Итак, в осяхxy 1 центр тяжести всего сечения имеет координаты С (0,0133; 0). Проводим через центр тяжести сечения ось Y, перпендикулярную оси X. Оси X и Y и будут главными центральными осями сечения.
Определим положение нулевой линии.
Координаты точки приложения силы (точки А ) будут следующие: =(0,02–0,0133)+0,04 =0,0467 м; = 0,06 м;
м 4 ,
м 4 ,
где = 0,0133 м;
м 2 .
м 2 , 
м 2 ;
и получим отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных осях инерции X и Y соответственно:
Откладываем на оси X , а на оси Y и проводим через полученные точки нулевую линию (см. рис.). Видим, что наиболее удаленные точки сечения от нулевой линии - это точка А в сжатой зоне и точка В в растянутой зоне. Координаты этих точек следующие: А (0,0467; 0,06); В (– 0,0333; –0,12). Определим напряжения в этих точках, выразив их через F .
Напряжение в точке А не должно превышать допускаемое напряжение на сжатие , а напряжение в точке В не должно превышать допускаемое напряжение на растяжение , т.е. должны выполняться условия:
, ,
или
(а),
(б).
Из (а): 
из (б): 
Чтобы одновременно удовлетворить условие прочности и в растянутой, и в сжатой зонах колонны, мы должны взять в качестве допускаемой нагрузки меньшую из двух полученных, т.е. = 103 кН.
Пример 8.
Чугунный короткий стержень прямоугольного поперечного сечения, изображенный на рисунке, сжимается продольной силой F , приложенной в точке А .
Требуется:
1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F и размеры сечения;
2) найти
допускаемую нагрузку F
при
заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие 
и на растяжение 
.
Решение.
Определим положение нулевой линии. Для этого воспользуемся формулами
Координаты точки приложения силы (точки А) будут следующими:
Квадраты радиусов инерции определим по формулам:
Определяем отрезки, которые нулевая линия отсекает на осях х и у .
Откладываем на оси х – х 0 , а на оси у – у 0 и проводим через полученные точки нулевую линию n – n (см. рис.). Видим, что наиболее удаленные точки сечения - это точка А в сжатой области и точка В в растянутой области. Координаты этих точек следующие: А (0,04; 0,06), В (–0,04; –0,06). Определим величину напряжения в этих точках, выразив их через силу F :
Напряжение в точке А не должно превышать допускаемое напряжение на сжатие , а напряжение в точке В не должно превышать допускаемое напряжение на растяжение , т.е. должно выполняться условие
Из первого выражения величина F
Принимается нагрузка наименьшая из двух найденных, т.е. = 567кн.
Пример 9.
Короткий чугунный стержень с поперечным сечением, изображенным на рис. а , сжимается продольной силой P , приложенной в точке A . Определить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении стержня, выразив их через силу P и размеры сечения см, см. Найти допускаемую нагрузку при заданных допускаемых напряжениях для материала на сжатие кН/см 2 и на растяжение кН/см 2 .
Решение.
Действующая на стержень сила P помимо сжатия осуществляет изгиб стержня относительно главных центральных осей x и y . Изгибающие моменты соответственно равны:
где см и см – координаты точки приложения силы P (координаты точки A ).
Нормальные напряжения в некоторой точке с координатами x и y любого поперечного сечения стержня определяются по формуле
,
где F – площадь, а и – радиусы инерции поперечного сечения.
1. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стержня.
Площадь поперечного сечения стержня равна:
Главные центральные моменты инерции определяем следующим образом.
Вычисляя момент инерции всего сечения относительно оси x , разобьем всю фигуру на один прямоугольник с шириной и высотой и два прямоугольника с шириной и высотой , чтобы ось x была для всех этих трех фигур центральной. Тогда
.
Для вычисления момента инерциивсего сечения относительно оси y разобьем всю фигуру несколько иначе: один прямоугольник с шириной и высотой и два прямоугольника с шириной и высотой , чтобы теперь уже ось y была для всех этих трех фигур центральной. Получим
.
Квадраты радиусов инерции равны:
; 
.
2. Определяем положение нулевой линии.
Отрезки и , отсекаемые нулевой линией от осей координат, равны:
см
; 
см.
Показываем нулевую линию N – N на рис. б . Нулевая линия делит поперечное сечение на две области, одна из которых испытывает растяжение, а другая – сжатие. На рисунке 1, б растянутая область поперечного сечения стержня нами заштрихована .
3. Вычисляем наибольшее растягивающее напряжение.
Оно возникает в точках 6 и 7 , то есть в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Значение этого напряжения, вычисленное, например, для точки 6 равно:
4. Вычисляем наибольшее сжимающее напряжение.
Оно возникает в точках 2 и 3 , также наиболее удаленных от нулевой линии. Значение этого напряжения, вычисленное, например, для точки 2 , равно:
5. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности на растяжение:
кН/см 2
; 
кН.
6. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности на сжатие:
кН/см 2
; 
кН.
Пример 10.
Короткая колонна, поперечное сечение которой изображено на рис.1, сжимается продольной силой F = 200 кН, приложенной в точке К . Размеры сечения а= 40 см, b = 16 см. Расчетное сопротивление материала на растяжение R t = 3 МПа, на сжатиеR с = 30 МПа.
Требуется :
1. Найти положение нулевой линии.
2. Вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения и построить эпюру напряжений. Дать заключение о прочности колонны.
3. Определить расчетную несущую способность (расчетную нагрузку) F max при заданных размерах сечения.
4. Построить ядро сечения.
Рис.1
Решение.
1. Определение координат центра тяжести сечения .
Поперечное сечение колонны имеет ось симметрии Х с , следовательно центр тяжести лежит на этой оси и для отыскания координаты х с относительно вспомогательной оси Y o (см. рис.1) сложное сечение разбиваем на три прямоугольника
2. Геометрические характеристики сечения.
Для вычисления главных центральных моментов инерции воспользуемся зависимостью между моментами инерции при параллельном переносе осей.
Определяем квадраты радиусов инерции
Координаты точки приложения силы F
3. Положение нулевой линии
По найденным отрезкам, отсекаемым на осях координат проводим нулевую линию (см. рис. 2).
4. Определение наибольших сжимающих и растягивающих напряжений . Эпюра .
Наиболее удаленные от нулевой линии точки: В (-60; 16) и D (60; -32). Напряжения в этих опасных точках с координатами х dan , у dan не должны превосходить соответствующего расчетного сопротивления
.
Растягивающее напряжение
Сжимающее напряжение
Прочность колонны обеспечена.
По результатам расчета напряжений и на рис. 2 построена эпюра .
5. Вычисление расчетной несущей способности колонны F max .
Поскольку при заданном значении сжимающей силы прочность материала колонны существенно недоиспользована, найдем максимальное значение внешней нагрузки, приравнивая наибольшие напряжения s t и s c расчётным сопротивлениям.
Окончательно выбираем меньше значение F max = 425,8 кН, обеспечивающее прочность как растянутой, так и сжатой зон сечения.
Рис.2
6. Построение ядра сечения .
Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя затем эти точки, получим очертание ядра сечения.
Касательная 1-1: y o = 32 см,
.
Касательная
2-2: , 
.
Касательная
3-3: , 
.
Касательная
4-4: 
; ;
;
;
;
.
Касательная
5-5: ; 
.
Касательная
6-6: ; 
;
Пример 11.
В точке P колонны прямоугольного сечения приложена сжимающая сила P (см. рис.). Определить максимальное и минимальное нормальные напряжения.
Решение.
Нормальное напряжение при внецентренном сжатии определяем по формуле:
В нашей задаче
Момент инерции
, площадь 
,
Следовательно 
На нейтральной линии . Поэтому ее уравнение
Наиболее удаленными точками от нейтральной оси являются точки A и B :
в точке A и
в точке B и
Если материал сопротивляется растяжению и сжатию различно, то следует составить два уравнения прочности:
Пример 12 .
Найти допускаемую нагрузку для бруса, показанного на рисунке, если расчетные сопротивления материала бруса на растяжение и сжатие равны R adm , t = 20 МПа; R adm ,с = 100 МПа.
Решение. Запишем условие прочности для наиболее напряженных точек любого сечения бруса, так как все сечения равноопасны:
Перепишем эти условия, учитывая, что
и , тогда
и 
Отсюда определяем значения допустимых нагрузок.
Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис. 9.4).
Проекция точки приложения силы на поперечное сечение называется полюсом или силовой точкой, а прямая, проходящая через полюс и центр сечения, - силовой линией.
Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу Р в центр тяжести сечения. Так, сила Р, отмеченная на рис. 9.4 одной черточкой Г вызовет осевое растяжение бруса, а пара сил, отмеченных двумя черточками, - косой изгиб.
На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле
В эту формулу осевую силу изгибающие моменты а также координаты точки сечения, в которой определяется напряжение, надо подставлять с их знаками. Для изгибающих моментов примем такое же правило знаков, как и при косом изгибе, а осевую силу будем считать положительной, когда она вызывает растяжение.
Если координаты полюса обозначить через , то момент Формула (9.5) принимает вид
Из этого уравнения видно, что концы векторов напряжений в точках сечения расположены на плоскости. Линия пересечения плоскости напряжений с плоскостью поперечного сечения является нейтральной линией, уравнение которой находим, приравнивая правую часть равенства (9.6) нулю. После сокращения на Р получим
Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения и не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки
Представим моменты инерции как произведения площади сечения на квадрат соответствующего радиуса инерции
Тогда выражения (9.8) можно записать так:
Из формул (9.8) видно, что полюс и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами полюса.
При приближении полюса по силовой линии к центру тяжести сечения нейтральная линия будет удаляться от центра, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению. В пределе при нейтральная линия удалится в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.
На силовой линии всегда можно найти такое положение полюса, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. Если провести все возможные нейтральные линии так, чтобы они касались контура сечения, нигде не пересекая его, и найти соответствующие им полюсы, то окажется, что полюсы будут расположены на вполне определенной для каждого сечения замкнутой линии. Область, ограниченная этой линией, называется ядром сечения. В круглом сечении, например, ядро представляет собой круг диаметром в 4 раза меньшим диаметра сечения, а в прямоугольных и двутавровых сечениях ядро имеет форму параллелограмма (рис. 9.5).
Из самого построения ядра сечения следует, что до тех пор, пока полюс находится внутри ядра, нейтральная линия не пересечет контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если, же полюс расположен вне ядра, то нейтральная линия пересечет контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете на виецентренное сжатие стоек из хрупких материалов. Поскольку хрупкие материалы плохо воспринимают растягивающие нагрузки, то желательно внешние силы прикладывать к стойке так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил, сжимающих стойку, должна находиться внутри ядра сечения.
Расчет на прочность при внецентренном растяжении и сжатии производится так же, как и при косом изгибе, - по напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от его нейтральной линии. Однако в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал стойки хрупкий, опасной может быть точка, в которой действуй наибольшее растягивающее напряжение.
Эпюра напряжений строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения, и ограничена прямой линией (см. рис. 9,4).
Условие прочности запишется так.
