Инструкция
В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.
Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.
Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.
Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.
Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.
Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.
Источники:
- как определить абсолютную погрешность
Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.
Вам понадобится
- - данные измерений;
- - калькулятор.
Инструкция
Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.
Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.
Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).
Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.
Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.
Обратите внимание
Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.
В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.
Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.
Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.
Инструкция
Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.
Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.
Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.
Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.
Полезный совет
Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.
Источники:
- Методические указания к лабораторным работам по физике
- как найти относительную ошибку
Количественного понятия «точность » в науке не существует. Это качественное понятие. При защите диссертаций говорят только о погрешности (например, измерений). И даже если прозвучало слово «точность », то следует иметь в виду весьма расплывчатую меру величины, обратной погрешности.
Инструкция
Небольшой анализ понятия «приблизительное значение». Возможно, что имеется в виду приблизительный результат вычисления. Погрешность (точность ) здесь задает сам исполнитель работы. В эта погрешность указывается, например «до 10 в минус четвертой степени». Если же погрешность относительная – то в процентах или долях . Если вычисления велись на основе числового ряда (чаще всего Тейлора) – на основе модуля остаточного члена ряда.
О приблизительных значениях величин часто говорят как об оценочных их значениях . Результаты измерений случайны. Поэтому это те же случайные величины, обладающие характеристиками разброса значений, как та же дисперсия или с.к.о. (среднее
Результат измерений физической величины всегда отличается от истинного значения на некоторую величину, которая называется погрешностью
КЛАССИФИКАЦИЯ:
1. По способу выражения: абсолютные, приведенные и относительные
2. По источнику возникновения: методические и инструментальные.
3. По условиям и причинам возникновения: основные и дополнительные
4. По характеру изменения: систематические и случайные.
5. По зависимости от входной измеряемой величины: аддитивные и мультипликативные
6. По зависимости от инерционности: статические и динамические.
13. Абсолютная, относительная и приведенная погрешности.
Абсолютная погрешность - это разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины:
где А изм, А - измеряемое и действительное значения; ΔА - абсолютная погрешность.
Абсолютную погрешность выражают в единицах измеряемой величины. Абсолютную погрешность, взятую с обратным знаком, называют поправкой.
Относительная погрешность р равна отношению абсолютной погрешности ΔА к действительному значению измеряемой величины и выражается в процентах:
Приведенная погрешность измерительного прибора - это отношение абсолютной погрешности к номинальному значению. Номинальное значение для прибора с односторонней шкалой равно верхнему пределу измерения, для прибора с двусторонней шкалой (с нулем посередине) - арифметической сумме верхних пределов измерения:
пр.
ном.
14. Методическая, инструментальная, систематическая и случайная погрешности.
Погрешность метода обусловлена несовершенством применяемого метода измерения, неточностью формул и математических зависимостей, описывающий данный метод измерения, а также влиянием средства измерения на объект свойства которого изменяются.
Инструментальная погрешность (погрешность инструмента) обусловлена особенностью конструкции измерительного устройства, неточностью градуировки, шкалы, а также неправильностью установки измерительного устройства.
Инструментальная погрешность, как правило, указывается в паспорте на средство измерения и может быть оценена в числовом выражении.
Систематическая погрешность - постоянная или закономерно изменяющаяся погрешность при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях измерения. Например, погрешность, возникающая при измерении сопротивления ампервольтметром, обусловленная разрядом батареи питания.
Случайная погрешность - погрешность измерения, характер изменения которой при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях случайный. Например, погрешность отсчета при нескольких повторных измерениях.
Причиной случайной погрешности является одновременной действие многих случайных факторов, каждый из которых в отдельности мало влияет.
Случайная погрешность может быть оценена и частично снижена путём правильной обработки методами математической статистики, а также методами вероятности.
15. Основная и дополнительная, статическая и динамическая погрешности.
Основная погрешность - погрешность, возникающая в нормальных условиях применения средства измерения (температура, влажность, напряжение питания и др.), которые нормируются и указываются в стандартах или технических условиях.
Дополнительная погрешность обуславливается отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормального значения. Например, изменение температуры окружающей среды, изменение влажности, колебания напряжения питающей сети. Значение дополнительной погрешности нормируется и указывается в технической документации на средства измерения.
Статическая погрешность - погрешность при измерении постоянной по времени величины. Например, погрешность измерения неизменного за время измерения напряжения постоянного тока.
Динамическая погрешность - погрешность измерения изменяющейся во времени величины. Например, погрешность измерения коммутируемого напряжения постоянного тока, обусловленная переходными процессами при коммутации, а также ограниченным быстродействием измерительного прибора.
Часто в жизни нам приходится сталкиваться с различными приближенными величинами. Приближенные вычисления - всегда вычисления с некоторой погрешностью.
Понятие абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность приближенного значения это модуль разности точного значения и приближенного значения.
То есть из точного значения нужно вычесть приближенное значение и взять полученное число по модулю. Таким образом, абсолютная погрешность всегда величина положительная.
Как вычислять абсолютную погрешность
Покажем, как это может выглядеть на практике. Например, у нас имеется график некоторой величины, пускай это будет парабола: y=x^2.
По графику мы сможем определить приблизительное значение в некоторых точках. Например, при x=1.5 значение у приблизительно равно 2.2 (y≈2.2).
По формуле y=x^2 мы можем найти точное значение в точке x=1.5 у= 2.25.
Теперь вычислим абсолютную погрешность наших измерений. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.
Абсолютная погрешность равна 0.05. В таких случаях еще говорят значение вычислено с точность до 0.05.
Часто бывает так, что точное значение не всегда можно найти, а, следовательно, абсолютную погрешность не всегда возможно найти.
Например, если мы будем вычислять расстояние между двумя точками с помощью линейки, или значение угла между двумя прямыми с помощью транспортира, то мы получим приближенные значения. А вот точное значение вычислить невозможно. В данном случае, мы можем указать такое число, больше которого значение абсолютной погрешности быть не может.
В примере с линейкой это будет 0.1 см, так как цена деления на линейке 1 миллиметр. В примере для транспортира 1 градус потому, что шкала транспортира проградуирована через каждый градус. Таким образом, значения абсолютной погрешности в первом случае 0.1, а во втором случае 1.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:
Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.
Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:
Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.
После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции 
с помощью дифференциала.
Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.
Вычислим абсолютную погрешность
:
Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.
Ответ
: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.
Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:
Пример 5
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке
Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:
Пример 6
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.
Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.
Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу
Записываем очевидную функцию
Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.
Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:
Таким образом
: 
После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!
В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: 
(формулы можно найти в той же таблице).
Дальнейшее шаблонно:
Таким образом
: 
(при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
Ответ:
Пример 7
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.
Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .
Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.
Пример 8
Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .
А вот и рабочая формула:
Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !
По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .
Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели
:
,
Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,
И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть - надо его съесть.
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал функции в точке найдём по формуле:
Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :
Вычислим точное значение функции в точке :
Вот это значение является абсолютно точным.
Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
Пример 9
Вычислить приближенное значение функции 
в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: .
Общая закономерность таков а - чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
Пример 10
Решение:
Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: 
. Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал в точке найдем по формуле:
Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .
Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
;
.
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527
Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: , 
Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.
Пример 11
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий - это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:
Пример 12
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если 
Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.
Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.
Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!
Решения и ответы:
Пример 2 :
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом: 
Ответ:
Пример 4:
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: 
, ,
Таким образом:
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ:
, абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Пример 5:
Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом
:
Ответ:
Пример 7:
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , , 
Абсолютная и относительная погрешность числа.
В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.
Обозначим через а приближение к точному числу А.
Определени . Величина называется погрешностью приближенного числаа.
Определение
.
Абсолютной погрешностью
приближенного
числа а
называется
величина
.
Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.
Определение
.
Предельной абсолютной погрешностью
приближенного
числа а
называется
наименьшая из верхних границ для величины
,
которую можно найти при данном способе
получения числаа.
На практике в
качестве
выбирают одну
из верхних границ для
,
достаточно близкую к наименьшей.
Поскольку
,
то
.
Иногда пишут:
.
Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения
и истинным (действительным) значением измеряемой величины.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.
Определение
.
Относительной погрешностью
приближенного
числа а назовем
величину:
Определение
.
Предельной относительной погрешностью
приближенного
числа а назовем
величину
Так как
.
Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.
Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить
абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных
Дано:
Найти:
∆-абсолютная погрешность
δ –относительная погрешность
Решение:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a
0
*100%=0.203%
Ответ: =0,027; δ=0.203%
2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).
Верные знаки числа.
Определение . Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=
значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.
Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,
значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.
В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):
где
,
- первая значащая
цифра, m -
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.
Например, 518,3 =, m=2.
Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-
го числа.
Определение
.
Говорят, что в приближенном числе а
формы
n -
первых значащих цифр
,
где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:
В противном случае
последняя цифра
называется
сомнительной.
При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры
были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.
Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).
