Изучение любого физического процесса связано с установле­нием зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической фи­зики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изу­чаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени . Связь между величинами, участ­вующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп­лопроводности . В пределах выбранного элементарного объема и бес­конечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величии, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: физические величины λ, с р и ρ постоянны; внутренние источники тепла отсутствуют; тело одно­родно и изотропно; используется закон сохранения энергии, ко­торый для данного случая формулируется следующим образом: разность между количеством тепла, вошедшим вследствие тепло­проводности в элементарный параллелепипед за время dτ и вышед­шим из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема. В результате приходим к уравнению:

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно 2 t (знак читается «набла»); величину λ /cρ называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой а. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид

Уравнение (1-10) называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье, для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла. Оно является основным уравнением при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты тепло­проводностью и устанавливает связь между временным и пространст­венным изменениями температуры в любой точке поля.

Коэффициент температуропроводности а = λ/cρ является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах величина а характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводностихарактеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а есть мера теплоинерционных свойств тел. Из уравнения (1-10) следует, что изменение температуры во времени ∂t / ∂τ для любой точки тела пропорционально величине а .Поэтому, при одинаковых условиях быстрее увеличится температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Газы имеют малые, а металлы – большие значения коэффициента температуропроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела будет иметь вид

где q v - количество выделяемой теплоты в единице объема веще­ства в единицу времени, с - массовая теплоемкость тела, ρ - плотность тела.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндричес­ких координатах с внутренним источником теплоты будет иметь вид

где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат; φ - угол.

Распространение теплоты теплопроводностью в плоской и цилиндрической стенках при стационарном режиме (граничные условия первого рода)

Однородная однослойная плоская стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в однородной однослойной плоской стенке толщиной 8 при ее неограниченной ширине и длине.

Ось х направим перпендикулярно стенке (рис. 7.4). По обеим поверхностям стенки как в направлении оси у, так и в направлении оси г благодаря равномерному подводу и отводу теплоты температуры распределены равномерно.

Поскольку стенка в направлении этих осей имеет бесконечно большие размеры, то соответствующие температурные градиенты Ж/йу = (к/(к = = 0, и, таким образом, влияние на процесс теплопроводности торцевых поверхностей стенки отсутствует. При этих упрощающих задачу условиях стационарное температурное поле является функцией только координаты х, т.е. рассматривается одномерная задача. Применительно к данному случаю дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид (при д^дх = 0)

Даны граничные условия первого рода:

Рис. 7.4.

Найдем уравнение температурного ноля и определим тепловой поток Ф, проходящий через участок стенки площадью А (на рис. 1Л стенка не обозначена, поскольку располагается в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка). Первое интегрирование дает

т.е. температурный градиент является величиной постоянной по всей толщине стенки.

После второго интегрирования получим искомое уравнение температурного поля

где а и Ь - постоянные интегрирования.

Таким образом, изменение температуры по толщине стенки следует линейному закону, а изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные граням стенки.

Для определения произвольных постоянных интегрирования используем граничные условия:

Так как? > ? СТ2 , то проекция градиента на ось х отрицательна, как

это и следовало ожидать при выбранном направлении оси, совпадающем с направлением вектора поверхностной плотности теплового потока.

Подставляя значение постоянных в (7.24), получим окончательное выражение для температурного ноля

Линия а-Ь на рис. 7.4, так называемая температурная кривая , показывает изменение температуры но толщине стенки.

Зная температурный градиент, можно, пользуясь уравнением Фурье (7.10), найти количество теплоты 8{), проходящей за время т через элемент площади поверхности??4, перпендикулярной оси т.

и для участка поверхности площадью А

Формула (7.28) для теплового потока и поверхностной плотности теплового потока примет вид

Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в многослойной плоской стенке, состоящей из нескольких (например, трех) плотно прилегающих друг к другу слоев (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5.

Очевидно, что в случае стационарного температурного поля тепловой поток, проходящий через поверхности одинаковой площади А, будет для всех слоев одним и тем же. Поэтому для каждого из слоев может быть использовано уравнение (7.29).

Для первого слоя

для второго и третьего слоев

где Х 2 , А 3 - теплопроводности слоев; 8 1? 8 2 , 8 3 - толщина слоев.

На наружных границах трехслойной стенки считаются известными температуры? Ст1 и? СТ4 . По плоскостям раздела слоев устанавливаются температуры? СТ2 и? СТз, которые рассматриваются как неизвестные. Уравнения (7.31)-(7.33) решим относительно разностей температур:

а затем почленно сложим и тем самым исключим неизвестные промежуточные температуры:

Обобщая (7.36) для гг-слойной стенки, получим

Для определения промежуточных температур? СТ2 , ? СТз по плоскостям разделов слоев используем формулы (7.34):

Наконец, обобщая вывод на и-слойную стенку, получим формулу для температуры на границе г-го и (г + 1)-го слоя:

Иногда пользуются понятием эквивалентной теплопроводности Я экв. Для поверхностной плотности теплового потока, проходящего сквозь плоскую многослойную стенку,

где - суммарная толщина всех слоев многослойной стенки. Сравнивая выражения (7.37) и (7.40), заключаем, что

На рис. 7.5 в виде ломаной линии изображен график изменения температуры по толщине многослойной стенки. В пределах слоя, как было доказано выше, изменение температуры следует линейному закону. Тангенс угла наклона ср, температурной прямой к горизонтали

т.е. равен абсолютному значению температурного градиента ^1"ас1 Таким образом, по наклону прямых аЬ, Ьс и с

Следовательно,

т.е. температурные градиенты для отдельных слоев многослойной плоской стенки обратно пропорциональны теплопроводностям этих слоев.

Это значит, что для получения больших температурных градиентов (что требуется, например, при изоляции паропроводов и т.п.) необходимы материалы с малыми значениями теплопроводности.

Однородная однослойная цилиндрическая стенка. Найдем для стационарного режима теплопроводности температурное поле и поверхностную плотность теплового потока для однородной однослойной цилиндрической стенки (рис. 7.6). Для решения поставленной задачи используем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах.

Ось 2 направим по оси трубы. Примем, что длина трубы по сравнению с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур вдоль оси 2. Будем считать, что в связи с равномерным подводом и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеместно равна? СТ1 , а на наружной поверхности - ? СТ2 (граничные условия первого рода). При этих упрощениях (к/ = 0, а ввиду симметрии температурного поля относительно любого диаметра?/?/?Лр = 0. Изотермическими поверхностями в этом случае будут поверхности цилиндров, соосные с осью трубы. Таким образом, задача сводится к определению одномерного поля температур? = / (г), где г - текущий радиус цилиндрической стенки.

Рис. 7.6.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (7.19) при условии dt/d т = 0 примет вид

Введем новую переменную

которая является градиентом температур (grad ?).

Подставляя переменную и в (7.43), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

или

Интегрируя, получаем

Для цилиндрической стенки температурный градиент является величиной переменной, возрастающей с уменьшением радиуса г. Следовательно, на внутренней поверхности температурный градиент больше, чем на наружной.

Подставляя значение и из (7.44) в (7.45), получаем и

где ап Ь - постоянные интегрирования.

Следовательно, кривая распределения температур по толщине стенки является логарифмической кривой (кривая а-Ь на рис. 7.6).

Определим постоянные а и Ь, входящие в уравнение температурного поля, исходя из граничных условий первого рода. Внутренний радиус поверхности обозначим г х, наружный - г 2 . Соответствующие диаметры обозначим (1 Л и (1 2 . Тогда имеем систему уравнений

Решая данную систему уравнений, получаем

Уравнение температурного ноля примет вид Температурный градиент определяем но формуле (7.45):

Так как? СТ1 > ? СТ2 , а г, г 2 , то проекция grad? на радиус-вектор имеет отрицательное значение.

Последнее показывает, что для данного случая тепловой поток направлен от центра к периферии.

Для определения теплового потока, проходящего через участок цилиндрической поверхности длиной Ь, воспользуемся уравнением

Из (7.46) следует, что тепловой поток, проходящий сквозь цилиндрическую поверхность, зависит от соотношения наружного и внутреннего радиусов г 2 / г х (или диаметров с1 2 / (1 {), а не от толщины стенки.

Поверхностная плотность теплового потока для цилиндрической поверхности может быть найдена путем отнесения теплового потока Ф к площади внутренней поверхности А вп или к площади наружной поверхности А нп. В расчетах иногда используют линейную плотность теплового потока:

Из (7.47)-(7.49) следует

Многослойная цилиндрическая стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в трехслойной цилиндрической стенке (трубе) длиной А (рис. 7.7) с внутренним диаметром с1 х и наружным диаметром (1 Л. Промежуточные диаметры отдельных слоев - с1 2 и Х 2 , Х 3 .

Рис. 7.7.

Известными считаются температура? СТ) внутренней и температура? СТ4 наружной поверхности. Подлежит определению тепловой поток Ф и температуры? СТ2 и? СТз на границах слоев. Составим для каждого слоя уравнение вида (7.46):

Решая (7.51)-(7.53) относительно разностей температур, а затем почленно складывая, получим

Из (7.54) имеем расчетное выражение для определения теплового потока для трехслойной стенки:

Обобщим формулу (7.55) на и-слойную стенку трубы:
где i - порядковый номер слоя.

Из (7.51)-(7.53) находим выражение для определения температуры на границах промежуточных слоев:

Температуру? ст. +) на границе?-го и (г + 1)-го слоя можно определить по аналогичной формуле

В литературе приведены решения дифференциального уравнения теплопроводности для полого шара при граничных условиях первого рода, а также решения для всех рассмотренных тел при граничных условиях третьего рода. Мы эти проблемы не рассматриваем. За рамками нашего курса остались также вопросы стационарной теплопроводности в стержнях (ребрах) постоянного и переменного поперечных сечений, а также вопросы нестационарной теплопроводности.

где с р , Дж/(кг×К) – изобарная теплоемкость; r , кг/м 3 – плотность; l , Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности; w х, w y , w z – проекции вектора скорости движения жидкости; q v , Вт/м 3 – объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости.

Уравнение (1.12) записано для случая l=const .

Дифференциальное для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии w х = w y = w z = 0, с р = с v =с:

,

где - коэффициент температуропроводности, характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f (t) для различных тел приводятся в справочниках.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

(1.13)

описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов и т.д.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (r , z , φ) и сферических (r , φ , ψ).

В частности, в цилиндрических координатах (r – радиус; φ – полярный угол; z - аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1.14)

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:

· геометрические условия , характеризующие форму и размеры тела;

· физические условия , характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;

· граничные условия , характеризующие условия протекания процесса на границе тела;

· начальные условия , характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах .

При решении задач теплопроводности различают:

· граничные условия первого рода , когда задается распределение температуры на поверхности тела:

t c = f (x, y, z, τ) или t c =const ;

· граничные условия второго рода , когда задается плотность теплового потока на поверхности тела:

q c = f (x, y, z, τ) или q c =const ;

· граничные условия третьего рода , когда задается температура среды t ж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.

В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1м 2 поверхности в среду с температурой t ж ,

В то же время этот тепловой поток подводится к 1м 2 поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью

Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде

(1.15)

Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.

Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.

Контрольные вопросы и задания

1. Проанализируйте, какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку батареи отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.

2. Почему в правой части уравнения (1.3) стоит минус?

3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ(t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?

4. Как определяется тепловой поток (Q , Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?

5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее трехмерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.

6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля проволоки, которая длительное время находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.

2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

2.1. Теплопроводность плоской стенки

Дано: плоская однородная стенка толщиной δ (рис. 2.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и постоянными температурами t 1 и t 2 на поверхностях.

Определить: уравнение температурного поля t=f (x) и плотность теплового потока q , Вт/м 2 .

Температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.3) при следующих условиях:

· т. к. режим стационарный;

· т.к. отсутствуют внутренние источники теплоты;

· т.к. температуры t 1 и t 2 на поверхностях стенки постоянны.

Температура стенки является функцией только одной координаты х и уравнение (1.13) принимает вид

Выражения (2.1), (2.2), (2.3) являются математической постановкой задачи, решение которой позволит получить искомое уравнение температурного поля t= f (x) .

Интегрирование уравнения (2.1) дает

При повторном интегрировании получим решение дифференциального уравнения в виде

Зависимость t= f (x) , согласно (2.5) – прямая линия (рис. 2.1), что справедливо при λ=const .

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку, воспользуемся законом Фурье

С учетом получим расчетную формулу для плотности теплового потока, передаваемого через плоскую стенку,

Формулу (2.6) можно записать в виде

где

Величина называется термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.

На основании уравнения

q R=t 1 – t 2

можно сделать вывод о том, что термическое сопротивление стенки прямо пропорционально перепаду температур по толщине стенки.

Учесть зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, λ(t) , можно, если в уравнения (2.6) и (2.7) подставить значения λ ср для интервала температур t 1 –t 2 .

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки , состоящей, например, из трех слоев
(рис. 2.2).

Дано: δ 1 , δ 2 , δ 3 , λ 1 , λ 2 , λ 3 , t 1 =const , t 4 =const .

Определить: q , Вт/м 2 ; t 2 , t 3 .

При стационарном режиме и постоянных температурах поверхностей стенки тепловой поток, передаваемый через трехслойную стенку, можно представить системой уравнений:

Температуры на границах слоев t 2 и t 3 можно рассчитать по уравнениям (2.8) – (2.10) после того, как найдена плотность теплового потока (q ) по (2.12).

Общий вид уравнения (2.12) для многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев с постоянными температурами на наружных поверхностях и , имеет вид

2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода

Дано: Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r 1 , наружным – r 2 , длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ , с постоянными температурами на поверхностях t 1 и t 2 .
(рис. 2.3).

Определить: уравнение температурного поля
t = f (r) , тепловой поток, передаваемый через стенку
Q , Вт.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:

принимает вид

Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования
с 1 и с 2 . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде

Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки

(2.20)

В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:

и называется линейной плотностью теплового потока .

Запишем уравнение (2.20) в виде

где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки .

Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t 1 и t 4 ), с известными геометрическими размерами (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q :

Температуры на границах слоев (t 2 , t 3) можно рассчитать по уравнениям (2.21).

Для многослойной цилиндрической стенки , состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде

(2.23)

Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы
(рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λ эф) определ ится из равенства

2.3. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенок
при граничных условиях третьего рода (теплопередача)

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры жидкости (t ж) и коэффициента теплоотдачи () между поверхностью стенки и жидкостью.

Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей .

Примерами теплопередачи служит перенос теплоты от дымовых газов к воде через стенку трубы парового котла, перенос тепла от горячей воды к окружающему воздуху через стенку батареи отопления и т.д.

Теплообмен между поверхностью и средой (теплоносителем) может быть конвективным , если теплоноситель – жидкость (вода, нефть и т.д.) или радиационно-конвективным , когда теплота передается путем конвективного теплообмена и излучением, если теплоноситель – газ (дымовые газы, воздух и т.д.).

Рассмотрим теплопередачу через плоскую и цилиндрическую стенки при условии только конвективного теплообмена на поверхностях. Теплопередача с радиационно-конвективным теплообменом (сложным теплообменом) на поверхностях будет рассмотрена позже.Вт/м 2 теплопередачи (Q

если a 1 и a 2 соизмеримы.

Теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку рассчитывается по формуле

(2.35)

где F 1 и F 2 – площади внутренней и наружной поверхностей многослойной цилиндрической стенки.

Страница 4

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля. Отоларингология лазер применение лазеров.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

где qV - удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

Полярный угол.

2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

· геометрическая форма и размеры тела,

· физические параметры среды и тела,

· граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T(r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j(r) и T(r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:1 4

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты (= 0) :

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах, в которых где r – радиус-вектор, – полярный угол, уравнение будет иметь вид

Условия однозначности для процессов теплопроводности . Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает не одно, а целый класс явлений теплопроводности. Для получения аналитического описания конкретного процесса необходимо указать его частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

Временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в теле в начальный момент времени;

Граничные условия, характеризующие условия взаимодействия между рассматриваемым телом и окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничными условиями первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

Граничными условиями второго рода задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и средой, в качестве которого используют закон теплоотдачи (уравнение Ньютона-Рихмана):

Согласно этому закону плотность теплового потока на поверхности

тела пропорциональна разности температур между поверхностью стенки и окружающей средой. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении называют коэффициентом теплоотдачи и обозначают a, [Вт/(м 2 ×К)]. Он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

С другой стороны, эту же плотность теплового потока можно найти из уравнения:

где индекс «с» указывает на то, что градиент температуры рассчитывается на поверхности тела. Получаем аналитическое выражение для граничных условий третьего рода:

Граничными условиями четвертого рода рассматривается случай, когда два или большее количество тел плотно соприкасаются между собой. В этом случае тепловой поток, прошедший через поверхность одного тела, пройдет и через поверхность другого тела (тепловые потери в месте контакта отсутствуют).

Лекция 2. Раздел 2. Теплопроводность при стационарном режиме