На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис. 4.22).
Рис. 4.22. Г. Кирхгоф (1824–1887) - немецкий физик
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда и того естественного требования, чтобы при стационарных процессах ни в одной точке проводника не накапливались и не уменьшались заряды. Это правило относится к узлам , то есть к таким точкам в разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников.
Первое правило Кирхгофа гласит:
|
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть количество зарядов, приходящих в данную точку цепи в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время |
При этом токи, подходящие к узлу и отходящие от него, имеют противоположные знаки (рис. 4.23).
Рис. 4.23. Сумма токов, сходящихся в узле равна нулю
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи.
Второе правило Кирхгофа гласит:
|
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре (рис. 4.24) |
Рис. 4.24. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)
Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них ЭДС. Число уравнений, составляемых по первому и второму правилам Кирхгофа, должно равняться числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей m узлов и n ветвей (участков), можно написать (m – 1) независимых уравнений, а используя второе правило, (n – m + 1) независимых уравнений.
Приведем пример расчета токов в разветвленной цепи (рис. 4.25).
Рис. 4.25. Пример разветвленной цепи
Направления действия ЭДС показаны синими стрелками. В этой цепи у нас имеется два узла - точки b и d (m = 2), и три ветви - участок b –а –d с током I 1 , участок b –d с током I 2 и участок b –c –d с током I 3 (n = 3). Значит, мы можем написать одно (m – 1 = 2 – 1 = 1) уравнение на основе первого правила Кирхгофа и два (n – m + 1 = 3 – 2 + 1 = 2) уравнения на основе второго правила Кирхгофа. Как же это делается на практике?
Шаг первый. Выберем направления токов, текущих в каждой из ветвей цепи. Как эти направления выбрать - совершенно неважно. Если мы угадали, в окончательном результате значение этого тока получится положительным, если нет и направление должно быть обратным - значение этого тока получится отрицательным. В нашем примере мы выбрали направления токов как показано на рисунке. Важно подчеркнуть, что направления действия ЭДС не произвольны, они определяются способом подключения полюсов источников тока (см. рис. 4.25).
Шаг второй. Записываем первое правило Кирхгофа для всех узлов кроме одного (в последнем узле, выбор которого произволен, это правило будет выполняться автоматически). В нашем случае мы можем записать уравнение для узла b , куда входит ток I 2 и выходят токи I 1 и I 3
|
|
Шаг третий. Нам осталось написать уравнения (в нашем случае - два) для второго правила Кирхгофа. Для этого надо выбрать два независимых замкнутых контура. В рассматриваемом примере имеются три такие возможности: путь по левому контуру b –a –d –b , путь по правому контуру b –c –d –b и путь вокруг всей цепи b –a –d –c –b . Достаточно взять любые два из них, тогда для третьего контура второе правило Кирхгофа будет выполнено автоматически. Направление обхода контура роли не играет, но при обходе ток будет браться со знаком плюс, если он течет в направлении обхода, и со знаком минус, если ток течет в противоположном направлении. Это же относится к знакам ЭДС.
Возьмем для начала контур b –a –d –b . Мы выходим из точки b и движемся против часовой стрелки. На нашем пути встретятся два тока, I 1 и I 2 , направления которых совпадают с выбранным направлением обхода. ЭДС также действует в этом же направлении. Поэтому второе правило Кирхгофа для этого участка цепи записывается как
|
|
В качестве второго замкнутого пути для разнообразия выберем путь b –a –d –c –b вокруг всей цепи. На этом пути мы встречаем два тока I 1 и I 3 , из которых первый войдет со знаком плюс, а второй - со знаком минус. Мы встретимся также с двумя ЭДС, из которых войдет в уравнения со знаком плюс, а - со знаком минус. Уравнение для этого замкнутого пути имеет вид
|
|
Шаг четвертый. Мы нашли три уравнения для трех неизвестных токов в цепи. Решение произвольной системы линейных уравнений описывается в курсе математики. Для наших целей (цепь достаточна проста) можно просто выразить I 3 через I 1 из уравнения (4.47)
|
|
I 2 через I 1 с помощью уравнения (4.46)
|
|
и подставить (4.48), (4.49) в уравнение первого правила Кирхгофа (4.45). Это уравнение содержит лишь неизвестное I 1 , которое находится без труда
|
|
Подставляя это выражение в (4.48), (4.49), находим соответственно токи I 2 , I 3
|
|
Шаг пятый.
В найденные формулы подставляют численные значения, коль скоро они заданы. Подсчитаем для примера токи в нашей цепи при одинаковых сопротивлениях R
1 = R
2 = R
3 = 10 Ом, но разных ЭДС 
Имеем:
|
|
Последнее значение получилось отрицательным при данных численных характеристиках цепи. Значит, на самом деле направление тока обратно показанному на рисунке. Это естественно: мощный левый источник посылает ток 0,75 А, часть которого (0,45 А) ответвляется в среднюю ветвь, а остаток - 0,3 А - продолжает течь в том же направлении, чему не может воспрепятствовать маломощная правая батарея.
Примечание. Правила Кирхгофа позволяют в принципе рассчитать сколь угодно сложные цепи. Но вычисления могут быть довольно сложными. Поэтому рекомендуется сначала поискать возможную симметрию цепи. Иногда из соображений симметрии более или менее очевидно, что какие-то токи равны между собой или какие-то напряжения равны нулю (и тогда данный участок цепи можно исключить из рассмотрения). Если такое возможно, вычисления существенно упрощаются.
В нашем примере мы пренебрегли внутренним сопротивлением источников тока. При их наличии они также должны включаться в уравнения второго правила Кирхгофа.
Пример. Два одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r соединяются в батарею. Возможны два варианта соединения - последовательное и параллельное (рис. 4.26). При каком соединении ток в нагрузке R будет наибольшим?
Рис. 4.26. Последовательное (1) и параллельное (2) соединение источников тока
Решение. Расчет особенно прост для последовательного соединения: уравнение первого правила Кирхгофа отсутствует, так как в цепи нет узлов. Единственное уравнение второго закона дает
Сравнивая (4.53) и (4.56), находим, что при R > r ток последовательной батареи больше (I посл > I парал) а при R < r он меньше (I посл < I парал) тока от параллельной батареи. При равенстве внутреннего сопротивления и нагрузки R = r обе батареи дают одинаковый ток.
При расчете электрических цепей нам часто приходится встречаться с цепями, которые образуют замкнутые контуры. В состав таких контуров, помимо сопротивлений, могут входить еще электродвижущие силы, то есть источники напряжений. На рисунке 1 представлен участок сложной электрической цепи. Задана полярность всех (э. д. с.). Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении, например по часовой стрелке. Рассмотрим участок АБ . На этом участке происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).
На участке АБ :
φ А + E 1 – I 1 × r 1 = φ Б .
На участке БВ :
φ Б – E 2 – I 2 × r 2 = φ В .
На участке ВГ :
φ В – I 3 × r 3 + E 3 = φ Г .
На участке ГА :
φ Г – I 4 × r 4 = φ А .
Складывая почленно четыре приведенных уравнения, получим:
φ А + E 1 – I 1 × r 1 + φ Б – E 2 – I 2 × r 2 + φ В – I 3 × r 3 + E 3 + φ Г – I 4 × r 4 = φ Б + φ В + φ Г + φ А
E 1 – I 1 × r 1 – E 2 – I 2 × r 2 – I 3 × r 3 + E 3 – I 4 × r 4 = 0.
Перенеся произведения I × r в правую часть, получим:
E 1 – E 2 + E 3 = I 1 × r 1 + I 2 × r 2 + I 3 × r 3 + I 4 × r 4 .
В общем виде
Это выражение представляет собой второй закон Кирхгофа. Формула второго закона Кирхгофа показывает, что во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжений. Бывают случаи, когда в замкнутом контуре отсутствуют источники э. д. с., тогда применимо другое определение второго закона Кирхгофа – алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю.
Видео 1. Второй закон Кирхгофа
Рассмотрим простой замкнутый контур (рисунок 2).
 |
| Рисунок 2. Простой замкнутый контур |
По второму закону Кирхгофа
E = I × r 0 + I × r = I × (r 0 + r ),
| I 3 = I 1 + I 2 . | (3) |
Имеем три уравнения с тремя неизвестными. Решая их, находим величину и направление токов. Подставляя значение тока I 3 из уравнения (3) в уравнение (1), получим:
6 = 2 × I 1 + 5 × I 1 + 5 × I 2 ;
Сложим уравнения для двух контуров почленно:
(6 = 7 × I 1 + 5 × I 2) + (2 = I 1 – 2 × I 2)
(12 = 14 × I 1 + 10 × I 2) + (10 = 5 × I 1 – 10 × I 2).
Сложив два последних уравнения, имеем:
22 = 19 × I 1 , откуда I 1 = 1,156 А,
подставляем значение I 1 в уравнение (1):
6 = 2 × 1,156 + 5 × I 3 ,
Подставляем значение I 1 в уравнение (2):
2 = 1,156 – 2 × I 2 ,
Знак минус показывает, что действительное направление тока I 2 обратно принятому нами направлению.
Законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»
Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!
Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.
Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.
Рисунок 1 - Простая схема
В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос - а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.
Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .
Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.
Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись - со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I 1 , I 2 , I 3 .
Мы видим, что в контуре №1 направление токов I 1 и I 3 , а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I 2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I 3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:
А теперь запишем этот же закон для контура №2:
Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I 1 , I 2 , I 3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать
Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений
Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.
Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат
Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу
находим напряжение на каждом резисторе
Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно . Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.
Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.
Рисунок 2 - Схема посложнее
Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.
Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.
Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.
Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.
В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.
Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.
Второй закон Кирхгофа для контура I:
Второй закон Кирхгофа для контура II:
Второй закон Кирхгофа для контура III:
У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.
Первый закон Кирхгофа для узла А:
Первый закон Кирхгофа для узла В:
Первый закон Кирхгофа для узла С:
Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему
Подставляя числа, заданные в условии, получаем
Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат
Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I 4 получились у нас со знаками "минус". Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I 4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I 4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.
Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:
Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .
На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!
Вступайте в нашу
Немецкий ученый Густав Кирхгоф наряду с другими исследованиями сформулировал основной закон, помогающий рассчитывать токи и напряжения в различных видах электрических цепей, который известен, как закон Кирхгофа.
История создания закона Кирхгофа
В середине 19-го века свойства различных электрических цепей активно исследовались с целью их дальнейшего применения на практике. К тому времени уже был совершен переход от простых цепей к более сложным и одним было уже не обойтись. Возникла необходимость в расчетах очень сложных и разветвленных цепей.
Именно Кирхгоф сформулировал основные правила, с помощью которых стало возможным рассчитывать цепи практически любой сложности.
Первый закон Кирхгофа
В первом законе рассматривается узел цепи, представляющий собой точку схождения или разветвления трех проводов и более. В этом случае количество поступающего и исходящего электрического тока в общей сумме каждого вида будет одинаково. Таким образом, соблюдается закон сохранения электрического заряда.
Например, при Т-образном узле сумма токов, поступающих по двум проводам, равна току, выходящему по третьему проводу. В противном случае, в узле постоянно происходило бы накопление электрических зарядов, чего, практически, никогда не случается.
Второй закон Кирхгофа
При сложной и разветвленной цепи, она мысленно разбивается на несколько обыкновенных замкнутых контуров. Распределение тока по этим контурам происходит различными путями. В этом случае, достаточно сложно определить маршрут протекания того или иного тока. В каждом контуре у электронов происходит либо приобретение дополнительной энергии, либо ее потеря из-за возникшего сопротивления. Таким образом, общая энергия электронов в каждом замкнутом контуре имеет нулевое значение. В противном случае, с физической точки зрения, происходило бы постоянное возрастание или убывание электрического тока.
Применение законов Кирхгофа
Законы Кирхгофа широко применяются в различных видах цепей, которые могут быть . Наиболее типичным примером последовательной цепи служит елочная гирлянда, где все лампочки соединяются в последовательную цепь. В такой цепи в соответствии с законом Ома напряжение постепенно падает. В параллельных цепях напряжение остается одинаковым, а сила тока каждого элемента напрямую зависит от его сопротивления. Определение токов, проходящих по каждому узлу таких цепей, производится в соответствии с первым законом Кирхгофа.
Расчет цепи по законам Кирхгофа
Известный немецкий физик Густав Роберт Кирхгоф (1824 - 1887), выпускник Кенигсбергского университета, будучи заведующим кафедрой математической физики в Берлинском университете, на основе экспериментальных данных и законов Ома получил ряд правил, которые позволяли анализировать сложные электрические цепи. Так появились и используются в электродинамике правила Кирхгофа.
Первое (правило узлов) является, по сути своей, законом сохранения заряда в сочетании с условием, что заряды не рождаются и не исчезают в проводнике. Это правило относится к узлам т.е. точкам цепи, в которых сходится три и более проводников.
Если принять за положительное направление тока в цепи, которое подходит к узлу токов, а то, которое отходит − за отрицательные, то сумма токов во всяком узле должна быть равна нулю, потому что заряды не могут скапливаться в узле:
Другими словами, количество зарядов, подходящих к узлу в единицу времени, будет равняться количеству зарядов, которые уходят от данной точки за такой же период времени.
