Можно ли в математической книге, хотя бы и в популярной, говорить, например, о жуках? Оказывается, можно. Но начать придется издалека.
Рис. 78. Развертка окружности.
Окружность, как мы теперь знаем, не имеет эволюты. Все ее нормали пересекаются в одной точке - в центре. Иногда говорят, что эволюта окружности «вырождается» в точку. Но зато эвольвенту она имеет (в чем, впрочем, большой заслуги нет: ведь развертку имеет всякая плавная кривая). Эта эвольвента оказывается близкой родственницей циклоидальным кривым.
Начнем с чертежа. Изготовим из фанеры кружок, укрепим его на бумаге, приклеим к нему нить и навернем плотно эту нить на край нашего кружка.
На конце нити сделаем петельку, в которую просунем острие карандаша (рис. 78). Если будем теперь «сматывать» нить, то карандаш автоматически начертит
Рис. 79 Качение прямой по кругу.
Нить, разумеется, должна быть туго натянута, а карандаш плотно прижат к бумаге.
Развертку окружности можно получить и иначе. Рассмотрим неподвижный круг радиуса с и прямую АВ, касающуюся этого круга в точке (рис. 79).
Рис. 80. Простые качели.
Если прямая АВ будет катиться без скольжения по окружности, то точка опишет, очевидно, развертку окружности. Действительно, для любой точки М этой кривой катящаяся прямая КМ служит нормалью, и длина отрезка КМ равна длине дуги неподвижной окружности.
Эвольвента круга является, таким образом, «циклоидой, вывернутой наизнанку». В случае циклоиды круг катится без скольжения по неподвижной прямой. В случае развертки круга прямая катится без скольжения по неподвижной окружности.
На рис. 80 изображены простейшие качели. На обрубок дерева положена доска АВ так, что ее середина касается обрубка. Что будет, если доску наклонить? Мы знаем, что она вернется в исходное положение, затем по инерции отклонится в другую сторону и будет качаться около положения равновесия. При этом, разумеется, и доска, и обрубок должны быть шероховатыми, иначе доска соскользнет в направлении, указанном на чертеже стрелкой.
Почему доска будет возвращаться в исходное положение? Это нетрудно сообразить. Известно, что всякое тело движется под действием тяжести так, что его центр тяжести опускается. Для ответа на наш вопрос достаточно знать, по какому пути движется центр тяжести (середина) доски при небольших ее отклонениях от положения равновесия.
Но это нам теперь ясно! Середина доски будет описывать дугу развертки окружности. Эта часть развертки изображена на рис. 80 штриховой линией. Мы видим, что при небольших отклонениях доски ее центр тяжести подымается, а потому доска будет возвращаться к положению равновесия. Равновесие будет, очевидно, устойчивым.
Родство развертки круга с циклоидальпыми кривыми можно обнаружить и другим путем. Мы уже говорили, что в случае эпициклоид пли гипоциклоид (рис. 66) неограниченное возрастание радиуса неподвижного круга при неизменном радиусе подвижного приводит к циклоиде. Если мы обратимся к перициклоиде (стр. 50) и, оставив неизменным радиус неподвижного круга, будем неограниченно увеличивать радиус подвижного, так сказать, «выпрямляя» его (рис. 81), то перициклоида превратится в развертку круга.
Мы не будем здесь приводить вывода формул для длины дуги эвольвенты круга и площади ее сектора.
Приведем готовый результат (рис. 82). Для длины l дуги развертки и для площади S сектора будем иметь;
Эти формулы интересны тем, что величину входящего в них угла приходится возводить во вторую и в третью степень - обстоятельство, которое может смутить новичка.
Рис. 81. Неограниченное увеличение подвижного круга.
Рис. 82. Длина дуги и площадь сектора эвольвенты круга.
Подчеркиваем еще раз, что при этом угол должен быть выражен непременно в радианах. Если угол выражен в градусах и равен, например, (а градусов равны радианам), то формулы примут следующий вид:
Обратим внимание читателей на то, что угол радиан (или а градусов) - это угол нашего чертежа, а вовсе не угол сектора эвольвенты!
Жук-математик
Возьмем бумажный кружок (рис. 83), разрежем его от края к центру (например, по радиусу НО) и свернем сектор НОК в трубочку, как показано на рисунке.
Трубочка получится очень аккуратная: ведь она представляет собою коническую поверхность, причем все образующие этой поверхности, как радиусы одного и того же круга, между собою равны.
Рис. 83. Склеивание бумажного конуса.
Если бы мы разрезали кружок так, как показано на рис. 84, то трубка получилась бы неаккуратная: образующие конической поверхности были бы не равны между собою.
Возьмем теперь листок, ограниченный не окружностью, а какой-то другой плавной кривой, например, такой, как изображено на рис. 85. Если взять любую точку внутри листка, например, точку О, сделать разрез по ОН и свернуть трубку, то трубочка получится плохая, потому что образующие конической поверхности будут разной длины. И как бы мы ни выбирали точку О, нам хорошей трубки получить не удастся, потому что ни у какой кривой, кроме окружности, нет точки, равноудаленной от всех остальных ее точек.
Рис. 84. Плохая трубка.
Что ж? Будем хитрить! Возьмем какую-нибудь точку Н на краю листа (рис. 85) и наметим небольшую дугу НК. Будем считать эту дугу дугой окружности и найдем центр этой окружности. С этой целью проведем в точках Н и К нормали. Точка пересечения Т нормалей будет искомым центром. Далее, рассмотрим дугу КМ. Ее тоже можно без большой погрешности считать дугой окружности, но центр этой окружности не совпадет с проведя нормали к контуру листа в точках К и М, мы найдем точку их пересечения не совпадающую с точкою Т.
Рис. 85. Как разрезать лист?
Остается сделать последний шаг: перейти от ломаной линии центров к непрерывной кривой, чтобы обеспечить вполне гладкую трубочку, свободную от зазубрин. Ясно, что для этого достаточно заменить ломаную звенья которой соединяют точки пересечения «соседних» пар нормалей, плавной кривой - огибающею этих нормалей, т. е. кривой ТР, изображенной на рис. 86.
Но огибающей нормалей является, как мы знаем, эволюта данной кривой.
Значит, для того чтобы свернуть из листа наиболее аккуратную трубочку, нужно предварительно разрезать лист сначала по куску НТ нормали, а затем - по эволюте ТР его контура.
Рис. 86. Как избавиться от зазубрин?
И вам, читатель, и мне, и кому-нибудь еще вряд ли понадобится свертывать в трубки листочки бумаги (свертывание папироски - «козьей ножки» - не в счег: при этом ведь не нужно заботиться, чтобы все образующие были равной длины!). Поэтому практическая ценность разобранной нами сейчас задачи ничтожна. Но вот что интересно: существует жук, вернее, несколько пород жуков, которые изготовляют для своего будущего потомства домик из листа, свертывая его в трубку.
Эта трубка должна быть прочной и аккуратной. Ее не должны растрепать ветры и ливни, она не должна своим живописным видом и величиной привлекать врагов. И наш жучок-листоверт (жуки из родов Rhynchites, Byctiscus и др.) прекрасно решает сложную математическую задачу. Он прогрызает лист по эволюте контура и лишь после этого свертывает его. На рис. 87 изображен березовый листоверт (в натуральную величину) и разрезанный (вернее, прогрызенный) им лист.
Рис. 87 Березовый листоверт (натуральная величина).
Рис. 88. Виноградный листоверт и его трубка (увеличено в 2 раза).
На рис. 88 изображен увеличенный в два раза виноградный листоверт и его трубочка.
Разумеется, жучок-геометр решает эту далеко не простую задачу совершенно бессознательно. В течение многих лет естественный отбор сохранял преимущественно тех жучков, домики которых были особенно аккуратны. В результате возник инстинкт, передающийся по наследству из поколения в поколение. Этот инстинкт заставляет насекомое, не зная геометрии, решать сложную геометрическую задачу. Заметим, что другое, более известное насекомое - пчела - тоже решает (бессознательно, разумеется) не менее сложную задачу: построить соты так, чтобы при заданном числе и емкости ячеек их поверхность была наименьшей.
При этих условиях достигается наиболее экономное использование строительного материала (воска).
Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.
Параметрические уравнения эвольвенты окружности:
где - радиус окружности; - угол поворота радиуса окружности.
Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру
Имеется окружность с диаметром , и с центром в точке . Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка , должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка , должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.
Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле , где - диаметр окружности; - число частей, на которое разделена окружность.
Получив ряд точек эвольвенты соединяем их плавной линией.
В данном случае окружность с диаметром является эволютой к этой эвольвенте .
Эвольвента окружности
Литература
1. Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению.. - М.: Машиностроение., 1989. - С. 438-480. - 864 с. - ISBN 5-217-00403-7
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Развёртка окружности" в других словарях:
Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия
Прибор для разделения ионизов. молекул и атомов по их массам, основанный на воздействии магн. и электрич. полей на пучки ионов, летящих в вакууме. В М. с. регистрация ионов осуществляется электрич. методами, в м а с с с п е к т р о г р а ф а х по … Физическая энциклопедия
Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия - (греч. τετραεδρον четырёхгранник) простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Содержание 1 Связанные определения … Википедия
Открытые (нерешённые) математические проблемы проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Линделёфа. Теорема Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме геометрическая теорема, впервые доказанная Лоренсом Линделёфом в 1869 году.. Может быть… … Википедия
С развертками поверхностей мы часто встречаемся в обыденной жизни, на производстве и в строительстве. Чтобы изготовить футляр для книги (рис. 169), сшить чехол для чемодана, покрышку для волейбольного мяча и т. п., надо уметь строить развертки поверхностей призмы, шара и других геометрических тел. Разверткой называется фигура, полученная в результате совмещения поверхности данного тела с плоскостью. Для одних тел развертки могут быть точными, для других — приближенными. Точные развертки имеют все многогранники (призмы, пирамиды и др.), цилиндрические и конические поверхности и некоторые другие. Приближенные развертки имеют шар, тор и другие поверхности вращения с криволинейной образующей. Первую группу поверхностей будем называть развертывающимися, вторую — неразвертывающимися.
TBegin-->TEnd-->
TBegin-->
TEnd-->
При построении разверток многогранников придется находить действительную величину ребер и граней этих многогранников с помощью вращения или перемены плоскостей проекций. При построении приближенных разверток для неразвертывающихся поверхностей придется заменять участки последних близкими к ним по форме развертывающимися поверхностями.
Для построения развертки боковой поверхности призмы (рис. 170) считают.что плоскость развертки совпадает с гранью AADD призмы; с этой же плоскостью совмещают другие грани призмы, как это показано на рисунке. Грань ССВВ предварительно совмещают с гранью ААВВ. Линии сгибов в соответствии с ГОСТ 2.303—68 проводят тонкими сплошными линиями толщиной s/3-s/4. Точки на развертке принято обозначать теми же буквами, как и на комплексном чертеже, но с индексом 0 (нулевое). При построении развертки прямой призмы по комплексному чертежу (рис. 171, а) высоту граней берут с фронтальной проекции, а ширину — с горизонтальной. Развертку принято строить так, чтобы к наблюдателю была обращена лицевая сторона поверхности (рис. 171, б). Это условие важно соблюдать потому, что некоторые материалы (кожа, ткани) имеют две стороны: лицевую и оборотную. К одной из граней боковой поверхности пристраивают основания призмы ABCD.
Если на поверхности призмы задана точка 1, то на развертку ее переносят с помощью двух отрезков, помеченных на комплексном чертеже одним и двумя штрихами, первый отрезок С1l1 откладывают вправо от точки С0, а второй отрезок — по вертикали (к точке l0).
TBegin-->
TEnd-->
Аналогично строят развертку поверхности цилиндра вращения (рис. 172). Делят поверхность цилиндра на определенное количество равных частей, например на 12, и развертывают вписанную поверхность правильной двенадцатиугольной призмы. Длина развертки при таком построении получается несколько меньше действительной длины развертки. Если требуется значительная точность, то применяют графо-аналитический способ. Диаметр d окружности основания цилиндра (рис. 173, а) умножают на число π = 3,14; полученный размер используют в качестве длины развертки (рис. 173, б), а высоту (ширину) берут непосредственно с чертежа. К развертке боковой поверхности пристраивают основания цилиндра.
TBegin-->
TEnd-->
Если на поверхности цилиндра задана точка А, например между 1 и 2-й образующими, то ее место на развертке находят с помощью двух отрезков: хорды, отмеченной утолщенной линией (правее точки l1), и отрезка, равного расстоянию точки А от верхнего основания цилиндра, помеченного на чертеже двумя штрихами.
Значительно труднее построение развертки пирамиды (рис. 174, а). Ее ребра SA и SC являются прямыми общего положения и проецируются на обе плоскости проекций искажением. Прежде чем строить развертку, необходимо найти действительную величину каждого ребра. Величину ребра SB находят путем построения его третьей проекции, поскольку это ребро параллельно плоскости П 3 . Ребра SA и SC вращают вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через вершину S настолько, чтобы они стали параллельными фронтальной плоскости проекций П, (таким же способом может быть найдена действительная величина ребра SB).
TBegin-->
TEnd-->
После такого вращения их фронтальные проекции S 2 A 2 и S 2 C 2 будут равны действительной величине ребер SA и SC. Стороны основания пирамиды, как горизонтальные прямые, без искажения проецируются на плоскость проекций П 1 . Имея три стороны каждой грани и пользуясь способом засечек, легко построить развертку (рис. 174, б). Построение начинают с передней грани; на горизонтальной прямой откладывают отрезок A 0 С 0 =A 1 C 1 , первую засечку делают радиусом A 0 S 0 — A 2 S 2 вторую — радиусом C 0 S 0 = = G 2 S 2 ; в пересечении засечек получают точку S„. Принимают заказу сторону A 0 S 0 ; из точки A 0 делают засечку радиусом A 0 В 0 =A 1 B 1 из точки S 0 делают засечку радиусом S 0 B 0 =S 3 B 3 ; в пересечении засечек получают точку В 0 . Аналогично к стороне S 0 G 0 пристраивают грань S 0 B 0 C 0 . В заключение, к стороне A 0 С 0 пристраивают треугольник основания A 0 G 0 S 0 . Длины сторон этого треугольника можно взять непосредственно с развертки, как показано на чертеже.
Развертку конуса вращения строят так же, как и развертку пирамиды. Делят окружность основания на равные части, например на 12 частей (рис. 175, а), и представляют, что в конус вписана правильная двенадцатиугольная пирамида. Первые три грани показаны на чертеже. Разрезают поверхность конуса по образующей S6. Как известно из геометрии, развертка конуса изображается сектором круга, у которого радиус равен длине образующей конуса l. Все образующие кругового конуса равны, поэтому действительная длина образующей l равна фронтальной проекции левой (или правой) образующей. От точки S 0 (рис. 175, б) по вертикали откладывают отрезок 5000 =l. Этим радиусом проводят дугу окружности. От точки O 0 откладывают отрезки Оl 0 = O 1 l 1 , 1 0 2 0 = 1 1 2 1 и т. д. Отложив шесть отрезков, получают точку 60, которую соединяют с вершиной S0. Аналогично строят левую часть развертки; снизу пристраивают основание конуса.
TBegin-->
TEnd-->
Если требуется нанести на развертку точку В, то проводят через нее образующую SB (в нашем случае S 2), наносят эту образующую на развертку (S 0 2 0); вращая образующую с точкой В вправо до совмещения ее с образующей S 3 (S 2 5 2), находят действительное расстояние S 2 B 2 и откладывают его от точки S 0 . Найденные отрезки помечены на чертежах тремя штрихами.
Если на развертке конуса не требуется наносить точки, то она может быть построена быстрее и точнее, поскольку известно, что угол сектора развертки a=360°R/l радиус окружности основания, а l — длина образующей конуса.
Вам понадобится
- Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур
Инструкция
На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.
Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .
От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.
От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.
Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.
Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.
Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.
Существует несколько очень простых, но не эффективных способов преобразования окружностей в растровую форму. Например, рассмотрим для простоты окружность с центром в начале координат. Ее уравнение записывается какx 2 + y 2 = R 2 . Решая это уравнение относительно y, получим
y = ± .
Чтобы изобразить четвертую часть окружности, будем изменять x с единичным шагом от 0 до R и на каждом шаге вычислять y . Вторым простым методом растровой развертки окружности является использование вычислений x и y по формулам x = R cos α, y = R sin α при пошаговом изменении угла α от 0° до 90°.
Для упрощения алгоритма растровой развёртки стандартной окружности можно воспользоваться её симметрией относительно координатных осей и прямых y = ± x ; в случае, когда центр окружности не совпадает с началом координат, эти прямые необходимо сдвинуть параллельно так, чтобы они прошли через центр окружности. Тем самым достаточно построить растровое представление для 1/8 части окружности, а все оставшиеся точки получить симметрией (см. рис. 2.5).
Рис. 2.5. Восьмисторонняя симметрия
Рассмотрим участок окружности из второго октанта x Є . Далее опишем алгоритм Брезенхейма для этого участка окружности.
На каждом шаге алгоритм выбирает точку P i (x i , y i ), которая является ближайшей к истинной окружности. Идея алгоритма заключается в выборе ближайшей точки при помощи управляющих переменных, значения которых можно вычислить в пошаговом режиме с использованием небольшого числа сложений, вычитаний и сдвигов.
Рассмотрим небольшой участок сетки пикселов, а также возможные способы (от A до E) прохождения истинной окружности через сетку (рис. 2.6).
Предположим, что точка P i - 1 была выбрана как ближайшая к окружности при x = x i- 1 . Теперь найдем, какая из точек (S i или T i ) расположена ближе к окружности при x = x i- 1 + 1.
Рис. 2.6. Варианты прохождения окружности через растровую сетку
Заметим, что ошибка при выборе точки P i (x i , y i ) была равна
D(P i ) = (x i 2 + y i 2) – R 2 .
Запишем выражение для ошибок, получаемых при выборе точки S i или T i :
D(S i ) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1 ) 2 ] – R 2 ;
D(T i ) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1 – 1) 2 ] – R 2 .
Если | D(S i ) | ≥ | D(T i ) |, то T i ближе к реальной окружности, иначе выбирается S i .
Введем d i = | D(S i ) | – | D(T i ) |.
T i будет выбираться при d i ≥ 0, в противном случае будет устанавливаться S i .
Опуская алгебраические преобразования, запишем d i и d i + 1 для разных вариантов выбора точки S i или T i .
D 1 = 3 – 2 R.
Если выбирается S i (когда d i < 0), то d i + 1 = d i + 4 x i -1 + 6.
Если выбирается T i (когда d i ≥ 0), то d i + 1 = d i + 4 (x i - 1 – y i - 1) + 10.
Существует модификация алгоритма Брезенхейма для эллипса.
