Математическое ожидание св. Основы теории вероятностей

В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

m 1 х 1 ,
m 2 - число подшипников с внешним диаметром х 2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n - число подшипников с внешним диаметром х n ,

Здесь m 1 +m 2 +...+m n =N . Найдем среднее арифметическое значение x ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,
Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х 1 , х 2 , ..., х n , c соответствующими вероятностями p 1 =m 1 /N , p 2 =m 2 /N , ..., p n =m n /N , так как вероятность p i появления подшипника с внешним диаметром x i равна m i /N . Таким образом, среднее арифметическое значение x ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения
Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *
При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной .
Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания , т.е.
Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин :

Вычислим среднее значение выборки и математическое ожидание случайной величины в MS EXCEL.

Выборочное среднее

Среднее выборки или выборочное среднее (sample average, mean) представляет собой среднее арифметическое всех значений выборки .

В MS EXCEL для вычисления среднего выборки можно использовать функцию СРЗНАЧ() . В качестве аргументов функции нужно указать ссылку на диапазон, содержащий значения выборки .

Выборочное среднее является «хорошей» (несмещенной и эффективной) точечной оценкой математического ожидания случайной величины (см. ), т.е. среднего значения исходного распределения, из которого взята выборка .

Примечание : О вычислении доверительных интервалов при оценке математического ожидания можно прочитать, например, в статье .

Некоторые свойства среднего арифметического :

• Сумма всех отклонений от среднего значения равна 0:

• Если к каждому из значений x i прибавить одну и туже константу с , то среднее арифметическое увеличится на такую же константу;
• Если каждое из значений x i умножить на одну и туже константу с , то среднее арифметическое умножится на такую же константу.

Математическое ожидание

Среднее значение можно вычислить не только для выборки, но для случайной величины, если известно ее . В этом случае среднее значение имеет специальное название - Математическое ожидание. Математическое ожидание характеризует «центральное» или среднее значение случайной величины.

Примечание : В англоязычной литературе имеется множество терминов для обозначения математического ожидания : expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] или first moment M[X].

математическое ожидание вычисляется по формуле:

где x i – значение, которое может принимать случайная величина, а р(x i) – вероятность, что случайная величина примет это значение.

Если случайная величина имеет , то математическое ожидание вычисляется по формуле.

Математическое ожидание - это, определение

Мат ожидание - это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр .

Мат ожидание - это среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей.

Мат ожидание - это мера среднего значения случайной величины в теории вероятности. Мат ожидание случайной величины x обозначается M(x) .

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это

Мат ожидание - это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Мат ожидание - это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции.

Мат ожидание - это в теории азартных игр сумма выигрыша, которую может заработать или проиграть спекулянт, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных спекулянтов это иногда называется «преимуществом спекулянта » (если оно положительно для спекулянта) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для спекулянта).

Математическое ожидание (Population mean) - это

Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.

Вспомним основы

Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.

Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.

Среднее арифметическое

Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.

Дисперсия

Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.

У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.

Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?

Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.

Зависимость от количества экспериментов

Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?

Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.

Задача

Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.

Математическое ожидание

Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.

Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.

Ещё один пример

Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.

Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.

Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.

Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.

Отклонение

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.

Программное обеспечение

Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

В заключение

Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.

Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.

В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.

В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.

1. Математическое ожидание неслучайной величины

Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

.

2. Дисперсия неслучайной величины

Если - неслучайная величина, то

3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания

, (10.2.1)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство.

а) Для прерывных величин

б) Для непрерывных величин

.

4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения

Если - неслучайная величина, а - случайная, то

, (10.2.2)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Доказательство. По определению дисперсии

Следствие

,

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.

5. Математическое ожидание суммы случайных величин

Докажем, что для любых двух случайных величин и

т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:

.

Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :

;

следовательно,

.

Аналогично докажем, что

,

и теорема доказана.

б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)

. (10.2.4)

Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):

;

аналогично

,

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:

, (10.2.5)

т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.

6. Математическое ожидание линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :

где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что

, (10.2.6)

т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:

.

7. Дисп ep сия суммы случайных величин

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

Доказательство. Обозначим

По теореме сложения математических ожиданий

Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:

По определению дисперсии

что и требовалось доказать.

Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

, (10.2.10)

где - корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин .

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:

, (10.2.11)

где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин , содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины , входящие в систему, некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:

, (10.2.12)

т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.

8. Дисперсия линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.

где - неслучайные величины.

Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой

, (10.2.13)

где - корреляционный момент величин , .

Доказательство. Введем обозначение:

. (10.2.14)

Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:

где - корреляционный момент величин :

.

Вычислим этот момент. Имеем:

;

аналогично

Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).

В частном случае, когда все величины некоррелированны, формула (10.2.13) принимает вид:

, (10.2.16)

т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.

9. Математическое ожидание произведения случайных величин

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).

Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:

т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.

Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

. (10.2.19)

Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае

, (10.2.20)

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции.

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

Докажем, что для независимых величин

Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии

Так как величины независимы, и

При независимых величины тоже независимы; следовательно,

,

Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:

;

аналогично

.

Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:

, (10.2.23)

т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.

11. Высшие моменты суммы случайных величин

В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.

1) Если величины независимы, то

Доказательство.

откуда по теореме умножения математических ожиданий

Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.

Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:

. (10.2.25)

2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой

где - дисперсии величин и .

Доказательство совершенно аналогично предыдущему.

Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.