Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей. Бесконечно малые величины и их свойства

Функция называется бесконечно малой при
или при
, если
или
.

Например: функция
бесконечно малая при
; функция
бесконечно малая при
.

Замечание 1. Никакую функцию без указания направления изменения аргумента бесконечно малой назвать нельзя. Так, функция
при
является бесконечно малой, а при
она уже не является бесконечно малой (
).

Замечание 2. Из определения предела функции в точке, для бесконечно малых функций выполняется неравенство
.Этим фактом мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться.

Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.

Теорема (о связи функции, её предела и бесконечно малой): Если функция
может быть представлена в виде суммы постоянного числаА и бесконечно малой функции
при
, то число

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что функция
.

Выразим отсюда
:
. Поскольку функция
бесконечно малая, для неё справедливо неравенство
, тогда для выражения (
) также выполняется неравенство

А это значит, что
.

Теорема (обратная): если
, то функция
может быть представлена в виде суммы числаА и бесконечно малой при
функции
, т.е.
.

Доказательство:

Так как
, то для
выполняется неравенство
(*) Рассмотрим функцию
как единую и неравенство (*) перепишем в виде

Из последнего неравенства следует, что величина (
) является бесконечно малой при
. Обозначим её
.

Откуда
. Теорема доказана.

Теорема 1 . Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.

Пусть
и
бесконечно малые при
функции и
– сумма этих функций. Докажем, что для
, существует такое
, что для всехх , удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая функция,
, что для всех
выполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая функция,
, а следовательно существует такое, что для всех
выполняется неравенство
.

Возьмём равным меньшему из чисели, тогда в–окрестности точкиа будут выполняться неравенства
,
.

Составим модуль функции
и оценим его значение.

То есть
, тогда функция бесконечно малая, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции
при
на ограниченную функцию
есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Так как функция
ограниченная, то существует такое положительное число
, что для всехвыполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая при
, то существует такая–окрестность точки, что для всехих этой окрестности выполняется неравенство
.

Рассмотрим функцию
и оценим её модуль

Итак
, а тогда
– бесконечно малая.

Теорема доказана.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

Доказательство:

Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.

Пусть
,
.

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой, функции
и
можно представить в виде
где
и
– бесконечно малые при
.

Найдём сумму функций
и

Величина
есть постоянная величина,
– величина бесконечно малая. Таким образом, функция
представлена в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой функции.

Тогда число
является пределом функции
, т.е.

Теорема доказана.

Теорема 2 . Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

Доказательство:

Не нарушая общности рассуждений, проведём доказательство для двух функций
и
.

Пусть , тогда
,

Найдём произведение функций
и

Величина
есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно, число
является пределом функции
, то есть справедливо равенство

Следствие:
.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля

.

Доказательство: Пусть
,

Тогда
,
.

Найдём частное и проделаем над ним некоторые тождественные преобразования

Величина постоянная, дробь
бесконечно малая. Следовательно, функцияпредставлена в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой функции.

Тогда
.

Замечание. Теоремы 1–3 доказаны для случая
. Однако, они могут быть применимы при
, поскольку доказательство теорем в этом случае проводится аналогично.

Например. Найти пределы:

Первый и второй замечательные пределы.

Функция не определена при
. Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при
. Этот предел носит названиепервого замечательного предела .

Он имеет вид:
.

Например . Найти пределы: 1.
. Обозначают
, если
, то
.
; 2.
. Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу.
; 3..

Рассмотрим переменную величину вида
, в которойпринимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадимразличные значения: если

Давая следующие значения из множества
, нетрудно увидеть, что выражение
при
будет
. Более того, доказывается, что
имеет предел. Этот предел обозначается буквой:
.

Число иррациональное:
.

Теперь рассмотрим предел функции
при
. Этот предел называетсявторым замечательным пределом

Он имеет вид
.

Например.

а)
. Выражение
заменим произведениемодинаковых сомножителей
, применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел; б)
. Положим
, тогда
,
.

Второй замечательный предел используется взадаче о непрерывном начислении процентов

При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:

,

где - первоначальный вклад,

- ежегодный банковский процент,

- число начислений процентов в год,

- время, в годах.

Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста

.

Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов

Непрерывность функций.

Рассмотрим функцию
определённую в некоторой точкеи некоторой окрестности точки. Пусть в указанной точке функция имеет значение
.

Определение 1. Функция
называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки, включая саму точку и
.

Определение непрерывности можно сформулировать иначе.

Пусть функция
определена при некотором значении,
. Если аргументудать приращение
, то функция получит приращение

Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),

То есть, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента
в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Определение 2. Функция
называется непрерывной при
(в точке), если она определена в этой точке и некоторой её окрестности и если
.

Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:

или
, но
, тогда
.

Следовательно, для того чтобы найти предел непрерывной функции при
достаточно в аналитическое выражение функции вместо аргументаподставить его значение.

Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Например:

Пример 1. Доказать, что функция
непрерывна во всех точках области определения.

Воспользуемся вторым определением непрерывности функции в точке. Для этого возьмём любое значение аргумента и дадим ему приращение
. Найдём соответствующее приращение функции

Пример 2. Доказать, что функция
непрерывна во всех точкахиз
.

Дадим аргументу приращение
, тогда функция получит приращение

Найдём так как функция
, то есть ограничена.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Определение 4. Если функция
непрерывна в каждой точке некоторого интервала
, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.

Бесконечно малые .

Переменная называется бесконечно малой, если для любогосуществует такое значение, что каждое следующии за ним значениебудет по абсолютной величине меньше.

Если -бесконечно малая то говорят, что стремится к нулю, и пишут:.

Бесконечно большие .

Переменная x называется бесконечно большой , если для всякого положительного числа c существует такое значение , что каждое следующее за нимx будет по абсолютной величине больше . Пишут:

Величина, обратная к бесконечно большой , есть величина бесконечно малая , и обратно.

10. Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

11. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K - точка пересечения луча с окружностью, а точка L - с касательной к единичной окружности в точке . Точка H - проекция точки K на ось OX .

Очевидно, что:

(где - площадь сектора )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

12-13. Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного Х

14. Частные производные.

Пусть z=f (x,y ) . Зафиксируем какую-либо точку (x,y ), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y , придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y ,.

Определение . Частной производной по x от функции z=f (x,y ) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов.

Аналогично определяется частная производная по y :

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример . Найти частные производные функции z=x 2 e x-2y .

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .

Бесконечно малая

Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x ) − a = α(x ) , .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a n называется бесконечно большой , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если либо .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия

Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин

Единственность предела и ограниченность сходящейся числовой последовательности

Определение 1 . Числовая последовательность (1) называется ограниченной, если множество членов этой последовательности образует ограниченное множество.

В этом случае числовую последовательность (1) мы будем называть ограниченной величиной .

Определение 2 . Числовая последовательность (1) сходится и имеет предел (Возможно использование записи ), если .

Давайте повторим это определение, используя в большей степени русский язык. Предел числовой последовательности существует и равен некоторому числу, если, начиная с некоторого номера, все члены последовательности удалены от этого предельного числа менее, чем любое, наперед заданное, сколь угодно малое положительное число. Можно это же самое сказать другими словами. Число будет пределом числовой последовательности (1) тогда и только тогда, когда для каждой -окрестности точки все члены последовательности, начиная с некоторого номера, лежат в этой –окрестности. Заметим, что интервал называется -окрестностью точки .

Теорема 1 . Если предел числовой последовательности существует, то он единственный.

Доказательство . Доказательство теоремы проведем «методом от противного». Предположим, что теорема неверна и существует, как минимум, 2 числа и (), для которых выполнены условия определения 2. В этом определении возьмем . Тогда, после номера члены последовательности отличаются от числа меньше чем на , а после номера члены последовательности отличаются от числа меньше чем на . Покажем, что этого не может быть. В самом деле, при выполнены соотношения , , откуда для этих имеем . Теорема доказана.

Теорема 2 . Если числовая последовательность имеет предел, то эта числовая последовательность ограничена.

Доказательство . Доказательство будет носить конструктивный характер. Возьмем и найдем соответствующее . Разобьем последовательность на 2 части: первые членов и остальные члены последовательности. Первая группа состоит из конечного числа членов и поэтому ограничена. Вторая группа состоит из чисел, удаленных от предельного значения не больше чем на 1, и поэтому также ограничена. Объединение двух ограниченных множеств есть множество ограниченное. Теорема доказана.

Бесконечно малые величины и их свойства

Определение 3 . Числовая последовательность называется бесконечно малой величиной , если она имеет предел, равный 0.

Для бесконечно малых величин используются обозначение б. м .

Пусть заданы числовые последовательности и . Числовая последовательность с общим членом , называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом , называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом , называется суммой этих числовых последовательностей.

Теорема 3 . Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Доказательство . Достаточно доказать утверждение для суммы двух б. м. Пусть числовые последовательности и являются бесконечно малыми величинами, т. е. пределы этих последовательностей равны 0. Данный факт означает следующее. Если задано произвольное, скроль угодно малое положительное число , то для числа и числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение . По той же причине для этого же числа и числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение . Возьмем число , тогда при справедливы соотношения . Итак, для произвольного мы нашли номер , такой что при выполнено . Следовательно, предел последовательности , равен 0, и она является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

Теорема 4 . Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

Доказательство . Пусть числовая последовательность является бесконечно малой величиной, а числовая последовательность является ограниченной величиной. Это означает что, с одной стороны, , с другой стороны, существует число такое, что для каждого выполнено условие . Пусть теперь задано произвольное, скроль угодно малое положительное число . Рассмотрим числа , для него в числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение . При этом будет выполнено условие , что и означает, что произведение этих двух величин – бесконечно малой и ограниченной есть величина бесконечно малая. Теорема доказана.

Свойства пределов

А как конкретно происходит вычисление пределов, в данном случае числовых последовательностей? Мы стараемся представить величину, предел которой надо найти, в виде суммы, разности, произведения, частного более простых величин, предел которых легко найти. Для обоснования такого подхода надо сформулировать и доказать свойства пределов.

Теорема 5 . Числовая последовательность имеет предел, равный тогда и только тогда, когда последовательность , является бесконечно малой величиной.

Доказательство . Пусть , т.е. при для каждого при выполнено неравенство (). Но это неравенство равносильно тому, что , т. е. последовательность , имеет предел 0, т.е. является бесконечно малой величиной. Теорема доказана. , где - б. м. Отсюда следует, что . В последней скобке сумма двух бесконечно малых величин есть величина б. м. Поэтому представляется в виде суммы и бесконечно малой величины . В силу теоремы 5 это означает, что . Первое утверждение теоремы доказана. Формула доказывается совершенно аналогично. Рассмотрим теперь формулу и используем для преобразования левой части те же обозначения. Поэтому …

Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Содержание

См. также: Бесконечно малые последовательности - определение и свойства
Свойства бесконечно больших последовательностей

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .

Определение бесконечно малой функции
Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x 0 0 , и он равен нулю:
.

Определение бесконечно большой функции
Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x 0 , если функция имеет предел при x → x 0 , и он равен бесконечности:
.

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .

Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0 .

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , и бесконечно большой функции, при x → x 0 , является бесконечно большой функцией при x → x 0 .

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x 0 , а функция g(x) - ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , то
.

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0 :
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой , то
.

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.

Это свойство имеет два частных случая.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если , то и .
Если , то и .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
, или .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Доказательство свойств и теорем

Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся . А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

.
,
a последовательность является бесконечно малой:
.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
.

Теорема доказана.

Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Необходимость . Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций , имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .

Достаточность . Пусть и . Применим свойство предела суммы функций :
.

Свойство доказано.

Доказательство теоремы о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне

при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами:
, .

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
, .

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки , на которой
при .

Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда, начиная с некоторого номера N , элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .

Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к , то по определению предела функции по Гейне,
.

Свойство доказано.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

См. также: