Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами занимались самые выдающиеся математики древности.
Решение уравнений n-ой степени является важной задачей и для современной математики. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике.
Проблема: отсутствие навыков решения уравнений высших степеней различными способами у учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике и математическим олимпиадам, обучению в профильном математическом классе.
Перечисленные факты определили актуальность нашей работы «Решение уравнений высших степеней».
Владение простейшими способами решения уравнений n-ой степени сокращает время для выполнения задания, от которого зависит результат работы и качество процесса обучения.
Цель работы: изучение известных способов решения уравнений высших степеней и выявление наиболее доступных из них для практического применения.
Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи:
Изучить литературу и Интернет-ресурсы по данной теме;
Познакомиться с историческими фактами, касающимися данной темы;
Описать различные способы решения уравнений высших степеней
сравнить степень сложности каждого из них;
Познакомить одноклассников со способами решения уравнений высших степеней;
Создать подборку уравнений для практического применения каждого из рассмотренных способов.
Объект исследования - уравнения высших степеней с одной переменной.
Предмет исследования - способы решения уравнений высших степеней.
Гипотеза: общего способа и единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов находить решения уравнений n-ой степени, не существует.
Методы исследования:
- библиографический метод (анализ литературы по теме исследования);
- метод классификации;
- метод качественного анализа.
Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации способов решения уравнений высших степеней и описании их алгоритмов.
Практическая значимость - предъявленный материал по данной теме и разработка учебного пособия для учащихся по данной теме.
1.УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
1.1 Понятие уравнения n-ой степени
Определение 1. Уравнением n-ой степени называется уравнение вида
a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, где коэффициенты a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- любые действительные числа, причём,a 0 ≠ 0 .
Многочлен a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n называют многочленом n-ой степени. Коэффициенты различают по названиям: a 0 - старший коэффициент; a n- свободный член.
Определение 2. Решениями или корнями для данного уравнения являются все значения переменной х , которые обращают это уравнение в верное числовое равенство или, при котором многочлен a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем многочлена. Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Если a 0 = 1, то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени.
Для уравнений третьей и четвёртой степени существуют формулы Кардано и Феррари, выражающими корни этих уравнений через радикалы. Выяснилось, что на практике ими редко пользуются. Таким образом, если n ≥ 3, а коэффициенты многочлена произвольные действительные числа, то поиск корней уравнения − задача непростая. Тем не менее, во многих частных случаях эта задача решается до конца. Остановимся на некоторых из них.
1.2 Исторические факты решения уравнений высших степеней
Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно - второй степени. С помощью уравнений высших степеней решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.
Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n-ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах.
Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n= 3 и n= 4. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион, Даль, Ферро и его ученики Фиори и Тарталья.
В 1545 году вышла книга итальянского математика Д. Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а также метод решения уравнений 4-й степени, открытый его учеником Л. Феррари .
Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й и 4-й степеней, дал Ф. Виет.
В 20-х годах 19 века, норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений пятой степени не могут быть выражены через радикалы .
В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно множество способов решения уравнений n-ой степени.
Результатом поиска методов решения уравнений высших степеней, неподдающихся решению способами, рассматриваемыми в школьной программе, стали способы, основанные на применении теоремы Виета (для уравнений степени n>2 ), теоремы Безу, схемы Горнера, а также формула Кардано и Феррари для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени.
В работе представлены методы решения уравнений и их виды, которые для нас стали открытием. К ним можно отнести - метод неопределенных коэффициентов, выделение полной степени, симметрические уравнения.
2. РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
2.1 Решение уравнений 3-ей степени. Формула Д. Кардано
Рассмотрим уравнения вида x 3 +px+q=0. Преобразуем уравнение общего вида к виду: x 3 +px 2 +qx+r=0. Запишем формулу куба суммы; Сложим с первоначальным равенством и заменим на y . Получим уравнение: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. После преобразований, имеем: y 2 +py + q=0. Теперь, снова запишем формулу куба суммы:
(a + b ) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), заменим (a + b )на x , получим уравнение x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Теперь видно, что исходное уравнение равносильно системе: и Решая систему, получим:
Мы получили формулу для решения приведенного уравнения 3-й степени. Она носит имя итальянского математика Кардано.
Рассмотрим пример. Решить уравнение: .
Имеем р = 15 и q = 124, тогда используя формулу Кардано вычислим корень уравнения
Вывод: данная формула хороша, но не подходит для решения всех кубических уравнений. Вместе с тем она громоздка. Поэтому на практике ею пользуются редко.
Но тот, кто овладеет данной формулой, может использовать её при решении уравнений третьей степени на ЕГЭ.
2.2 Теорема Виета
Из курса математики мы знаем данную теорему для квадратного уравнения, но мало кто знает, что ее используют и для решения уравнений высших степеней.
Рассмотрим уравнение:
разложим левую часть уравнения на множители, разделим на ≠ 0.
Правую часть уравнения преобразуем к виду
; отсюда следует, можно записать в систему следующие равенства:
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений и продемонстрированные нами для уравнений 3-й степени, верны и для многочленов высших степеней.
Решим кубическое уравнение:
Вывод: данный способ универсален и достаточно легок для понимания учащимися, так как теорема Виета им знакома по школьной программе для n = 2. Вместе с тем, чтобы находить корни уравнений с помощью данной теоремы необходимо обладать хорошими вычислительными навыками.
2.3 Теорема Безу
Эта теорема, названа по имени французского математика XVIII века Ж. Безу.
Теорема. Если уравнение a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Учитывая, что в левой части уравнения многочлен n-й степени, то теорема имеет и другую трактовку.
Теорема. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x - a остаток равен значению делимого при x = a . (буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число) .
Доказательство: пусть f(x ) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a ) получилось в частном q(x ), а в остатке R . Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n- 1)-й степени относительно x , а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x .
Если бы остаток R был многочленом первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит. По определению деления получаем тождество: f(x)=(x-a) q(x)+R .
Равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a , получим: f(a)=(a-a) q(a)+R . Символ f(a ) обозначает собой значение многочлена f(x ) при x=a, q(a) обозначает значение q(x ) при x=a. Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит. Произведение (x-a) q(a) = 0 , так как множитель (x-a) = 0, а множитель q(a) есть определенное число. Поэтому из равенства получим: f(a)= R, ч.т.д.
Пример 1. Найти остаток от деления многочлена x 3 - 3x 2 + 6x- 5 на двучлен
x- 2. По теореме Безу: R=f (2) = 23-322 + 62 -5=3. Ответ: R= 3.
Отметим, что теорема Безу важна не столь сама по себе, сколько своими следствиями. (Приложение 1)
Остановимся на рассмотрении некоторых приемов применения теоремы Безу к решению практических задач. Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:
Найти все целые делители свободного члена;
Из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения;
Левую часть уравнения разделить на (х-а );
Записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;
Решить полученное уравнение.
Рассмотрим на примере решения уравнения х 3 + 4х 2 + х - 6 = 0 .
Решение:находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Вычислим значения при х= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. Разделим левую часть уравнения на (х- 1). Деление выполним «уголком», получим:
Вывод: теорема Безу один из тех способов, которые мы рассматриваем в нашей работе, изучается в программе факультативных занятий. Она трудна в понимании, потому что, чтобы ей владеть, надо знать все следствия из нее, но при этом теорема Безу является одним из главных помощников учащихся на ЕГЭ.
2.4 Схема Горнера
Для деления многочлена на двучлен х-α можно использовать специальный несложный прием, придуманный английскими математиками XVII века, впоследствии названной схемой Горнера. Помимо нахождения корней уравнений, по схеме Горнера можно более просто вычислять их значения. Для этого необходимо подставить значение переменной в многочлен Pn(x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (1)
Рассмотрим деление многочлена (1) на двучлен x -α.
Выразим коэффициенты неполного частного b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 и остаток r через коэффициенты многочлена Pn(x ) и число α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =
= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .
Вычисления по схеме Горнера представлены в виде следующей таблицы:
|
а 0 |
a 1 |
a 2 , |
|||
|
b 0 =а 0 |
b 1 = α b 0 +a 1 |
b 2 = α b 1 +a 2 |
r=α b n-1 +a n |
Поскольку r=Pn(α), то α − корень уравнения. Для того чтобы проверить не является ли α кратным корнем, схему Горнера можно применить уже к частному b 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 по таблице. Если в столбце под bn -1 получится снова 0, значит α − кратный корень.
Рассмотрим пример: решить уравнение х 3 + 4х 2 + х - 6 = 0.
Применим к левой части уравнения разложение на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения, схему Горнера.
Решение:находим делители свободного члена ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.
|
6 ∙ 1 + (-6) = 0 |
Коэффициенты частного - числа 1, 5, 6, а остаток r = 0.
Значит, х 3 + 4х 2 + х - 6 = (х - 1) (х 2 + 5х + 6) = 0.
Отсюда: х - 1 = 0 или х 2 + 5х + 6 = 0.
х = 1, х 1 = -2; х 2 = -3. Ответ: 1,- 2, - 3.
Вывод: таким образом, на одном уравнении мы показали применение двух различных способов разложения на множители многочленов. На наш взгляд, схема Горнера наиболее практична и экономична.
2.5 Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
Ученик Кардано Людовик Феррари обнаружил способ решения уравнения 4-й степени. Метод Феррари состоит из двух этапов.
I этап: уравнения вида представляется в виде произведения двух квадратных трехчленов это следует из того, что уравнение 3-ей степени и хотя бы одно решение.
II этап: полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Идея в том, чтобы представить уравнения в виде A 2 =B 2 , где A=x 2 +s,
B-линейная функция от x . Тогда остаётся решить уравнения A = ±B.
Для наглядности рассмотрим уравнение: Уединим 4-ю степень, получим: Для любого d выражение будет полным квадратом. Прибавим к обеим частям уравнения получим
В левой части полный квадрат, можно подобрать d , чтобы и правая часть (2) стала полным квадратом. Представим себе, что мы достигли этого. Тогда наше уравнение выглядит так:
Найти корень впоследствии не составит никакого труда. Чтобы правильно подобрать d надо, чтобы дискриминант правой части (3) обратился в нуль, т.е.
Итак, чтобы найти d , надо решить это уравнение 3-й степени. Такое вспомогательное уравнение называют резольвентой .
Легко находим целый корень резольвенты: d = 1
Подставив в (1) уравнение получим
Вывод: метод Феррари универсален, но сложен и громоздкий. Вместе с тем, если алгоритм решения понятен, то уравнения 4-й степени можно решать данным методом.
2.6 Метод неопределенных коэффициентов
Успех решения уравнения 4-й степени методом Феррари зависит от того, реши ли мы резольвенту - уравнение 3-й степени, что как мы знаем, не всегда удается.
Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определяется путем перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной .
Пример: решите уравнение:
Предположим, что левую часть нашего уравнения можно разложить на два квадратных трехчлена с целыми коэффициентами такие, что справедливо тождественное равенство
Очевидно, что коэффициенты перед уних должны быть равными 1, а свободные члены - у одного + 1, у другого - 1.
Неопределенными остаются коэффициенты, стоящие перед х . Обозначим их через а и и чтобы их определить, перемножим оба трехчлена правой части уравнения.
В результате получим:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему для нахождения и
Решив эту систему, будем иметь
Итак, наше уравнение равносильно уравнению
Решив его, получаем следующие корни: .
Метод неопределенных коэффициентов опирается на следующие утверждения: любой многочлен четвертой степени, стоящий в уравнении, можно разложить на произведение двух многочленов второй степени; два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
2.7 Симметрические уравнения
Определение. Уравнение вида называется симметрическим, еслипервые коэффициенты, стоящие в уравнении слева, равны первым коэффициентам, стоящим справа .
Мы видим, что первые коэффициенты слева равны первым коэффициентам справа.
Если такое уравнение имеет нечетную степень, то оно имеет корень х = - 1. Далее мы можем понизить степень уравнения, поделив его на (х+ 1). Оказывается, что при делении симметрического уравнения на (х+ 1) получается симметрическое уравнение четной степени. Доказательство симметричности коэффициентов представлено ниже. (Приложение 6) Наша задача - научиться решать симметрические уравнения четной степени.
Например: (1)
Решим уравнение (1), поделим на х 2 (на среднюю степень) = 0.
Сгруппируем слагаемые с симметричными
) + 3(x + . Обозначим у = x + , возведём обе части в квадрат, отсюда = у 2 Итак, 2(у 2 или 2у 2 + 3 решив уравнение, получим у = , у = 3. Далее вернёмся к замене x + = и x + = 3. Получим уравнения и Первое не имеет решения, а второе имеет два корня. Ответ:.
Вывод: данный вид уравнений не часто встречающийся, но если он вам попался, то его можно решить легко и просто не прибегая к громоздким вычислениям.
2.8 Выделение полной степени
Рассмотрим уравнение.
Левая часть представляет собой куб суммы (х+1), т.е.
Извлекаем корень третьей степени из обеих частей: , далее получим
Откуда единственный корень.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
По результатам работы мы пришли к следующим выводам:
Благодаря изученной теории мы познакомились с различными методами решения целых уравнений высших степеней;
Формула Д. Кардано является сложной в применении и даёт большую вероятность допустить ошибки при вычислении;
− метод Л. Феррари позволяет свести решение уравнения четвертой степени к кубическому;
− теорема Безу может применяться как для кубических уравнений, так и для уравнений четвертой степени; она более понятна и наглядна в применении к решению уравнений;
Схема Горнера помогает существенно сократить и упростить вычисления в решении уравнений. Помимо нахождения корней, по схеме Горнера можно более просто вычислять значения многочленов, стоящих в левой части уравнения;
Особый интерес вызвали решения уравнений методом неопределённых коэффициентов, решение симметрических уравнений.
В ходе исследовательской работы было выяснено, что с простейшими способами решения уравнений высшей степени учащиеся знакомятся на занятиях факультатива по математике, начиная с 9-го или 10-го классов, а также на спецкурсах выездных математических школ. Данный факт установлен в результате опроса учителей математики МБОУ «СОШ № 9» и учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету «математика».
Наиболее востребованными методами решения уравнений высших степеней, которые встречаются при решении олимпиадных, конкурсных задач и в результате подготовки к экзаменам учащимися, являются методы, основанные на применении теоремы Безу, схемы Горнера и введение новой переменной.
Демонстрация результатов исследовательской работы, т.е. способов решения уравнений, не изучаемых в школьной программе по математике, заинтересовала одноклассников.
Заключение
Изучив учебную и научную литературу, Интернет-ресурсы в молодежных образовательных форумах
В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.
Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.
Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами
Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n - 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .
Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n - 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 на x - x 1 .
Подставляем остальные выписанные делители в P n - 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 .Здесь P n - 2 (x) будет частным от деления P n - 1 (x) на x - x 2 .
Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Здесь P n - m (x) является многочленом n - m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.
Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.
У нас в итоге получилось уравнение P n - m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.
Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.
Пример 1
Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Решение
Начнем с нахождений целых корней.
У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , - 1 , 3 и - 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.
При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.
Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (х - 1) в столбик:
Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 = 0
У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный - 1 .
Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:
Получаем, что
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.
Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .
D = 1 2 - 4 · 1 · 3 = - 11 < 0
Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.
В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
После нахождения следующего корня, равного - 1 , мы получаем следующее:
Ответ: х = - 1 , х = 1 , x = - 1 2 ± i 11 2 .
Пример 2
Условие: решите уравнение x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 .
Решение
У свободного члена есть делители 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .
Проверяем их по порядку:
1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 = 0
Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на х - 2 , воспользовавшись схемой Горнера:
В итоге мы получим x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 = 0
Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:
В итоге получим (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.
Решим квадратное уравнение:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 3 = - 3 < 0
Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Ответ : x = - 3 2 ± i 3 2 .
Пример 3
Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 действительные корни.
Решение
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0
Заменяем переменные y = 2 x:
2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = - 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = - 2 2 = - 1 и x = y 2 = 3 2 .
Ответ: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
СХЕМА ГОРНЕРА
В РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ
ИЗ ГРУППЫ «С» ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
Казанцева Людмила Викторовна
учитель математики МБОУ «Уярская СОШ № 3»
На факультативных занятиях необходимо расширить круг имеющихся знаний за счет решения заданий повышенной сложности группы «С».
Даная работа освещает часть вопросов, рассматриваемых на дополнительных занятиях.
Целесообразно ввести схему Горнера после изучения темы «Деление многочлена на многочлен». Этот материал позволяет решать уравнения высших порядков не способом группировки многочленов, а более рациональным путем, экономящим время.
План занятий.
Занятие 1.
1. Объяснение теоретического материала.
2. Решение примеров а), б), в), г).
Занятие 2.
1. Решение уравнений а), б), в), г).
2. Нахождение рациональных корней многочлена
Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметрами.
Занятие 3.
Задания а), б), в).
Занятие 4.
1. Задания г), д), е), ж), з).
Решение уравнений высших степеней.
Схема Горнера.
Теорема : Пусть несократимая дробь является корнем уравнения
a o x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x 1 + a n = 0
c целыми коэффициентами. Тогда число р является делителем старшего коэффициента а о .
Следствие : Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Следствие : Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1 , то все рациональные корни, если они существуют – целые.
Пример 1 . 2х 3 – 7х 2 + 5х – 1 = 0
Пусть несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р является делителем числа 1: ± 1
q является делителем старшего члена: ± 1 ; ± 2
Рациональные корни уравнения надо искать среди чисел: ± 1; ± .
f(1) = 2 – 7 + 5 – 1 = – 1 ≠ 0
f(–1) = –2 – 7 – 5 – 1 ≠ 0
f(
) = – + – 1 = – + 
– = 0
Корнем является число .
Деление многочлена Р(х) = а о х п + a 1 x n -1 + … + a n на двучлен (х – £) удобно выполнять по схеме Горнера.
Обозначим неполное частное Р(х) на (х – £) через Q (x ) = b o x n -1 + b 1 x n -2 + … b n -1 ,
а остаток через b n
Р(х) = Q (x ) (x – £) + b n , то имеет место тождество
а о х п + a 1 x n-1 + … + a n = (b o x n-1 + … + b n-1 ) (х – £) + b n
Q (x ) – многочлен, степень которого на 1 ниже степени исходного многочлена. Коэффициенты многочлена Q (x ) определяются по схеме Горнера.
а о
a 1
a 2
a n-1
a n
b o = a о
b 1 = a 1 + £·b o
b 2 = a 2 + £·b 1
b n-1 = a n-1 + £·b n-2
b n = a n + £·b n-1
В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена Р(х).
Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0.
Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого (а о = b o ). Если £ является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0.
Пример 2 . Разложить на множители с целыми коэффициентами
Р(х) = 2х 4 – 7х 3 – 3х 2 + 5х – 1
± 1.
Подходит – 1.
Делим Р(х) на (х + 1)
2
– 7
– 3
5
– 1
– 1
2
– 9
6
– 1
0
2х 4 – 7х 3 – 3х 2 + 5х – 1 = (х + 1) (2х 3 – 9х 2 + 6х – 1)
Ищем целые корни среди свободного члена: ± 1
Так как старший член равен 1, то корнями могут быть дробные числа: – ; .
Подходит .
2
– 9
6
– 1
2
– 8
2
0
2х 3 – 9х 2 + 6х – 1 =(х – ) (2х 2 – 8х + 2) = (2х – 1) (х 2 – 4х + 1)
Трехчлен х 2 – 4х + 1 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.
Задание:
1. Разложите на множители с целыми коэффициентами:
а) х 3 – 2х 2 – 5х + 6
q : ± 1;
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
:± 1; ± 2; ± 3; ± 6
Находим рациональные корни многочлена f (1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0
х = 1
1
– 2
– 5
6
1
1
– 1
– 6
0
х 3 – 2х 2 – 5х + 6 = (х – 1) (х 2 – х – 6) = (х – 1) (х – 3) (х + 2)
Определим корни квадратного уравнения
х 2 – х – 6 = 0
х = 3; х = – 2
б) 2х 3 + 5х 2 + х – 2
р: ± 1; ± 2
q : ± 1; ± 2
:± 1; ± 2; ±
Найдем корни многочлена третьей степени
f (1) = 2 + 5 + 1 – 2 ≠ 0
f (–1) = – 2 + 5 – 1 – 2 = 0
Один из корней уравнения х = – 1
2
5
1
– 2
– 1
2
3
– 2
0
2х 3 + 5х 2 + х – 2 = (х + 1) (2х 2 + 3х – 2) = (х + 1) (х + 2) (2х – 1)
Разложим квадратный трехчлен 2х 2 + 3х – 2 на множители
2х 2 + 3х – 2 = 2 (х + 2) (х – )
D = 9 + 16 = 25
х 1 = – 2; х 2 =
в) х 3 – 3х 2 + х + 1
р: ± 1
q : ± 1
:± 1
f (1) = 1 – 3 + 1 – 1 = 0
Одним из корней многочлена третьей степени является х = 1
1
– 3
1
1
1
1
– 2
– 1
0
х 3 – 3х 2 + х + 1 = (х – 1) (х 2 – 2х – 1)
Найдем корни уравнения х 2 – 2х – 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
х
1
= 1 – 
х
2
= 1 +
х
3
– 3х
2
+ х + 1 = (х – 1) (х – 1 + ) (х – 1 – )
г) х 3 – 2х – 1
р: ± 1
q : ± 1
:± 1
Определим корни многочлена
f (1) = 1 – 2 – 1 = – 2
f (–1) = – 1 + 2 – 1 = 0
Первый корень х = – 1
1
0
– 2
– 1
– 1
1
– 1
– 1
0
х 3 – 2х – 1 = (х + 1) (х 2 – х – 1)
х 2 – х – 1 = 0
D = 1 + 4 = 5
х
1,2
= 
х
3
– 2х – 1 = (х + 1) (х – 
) (х – 
)
2. Решить уравнение:
а) х 3 – 5х + 4 = 0
Определим корни многочлена третьей степени
:± 1; ± 2; ± 4
f (1) = 1 – 5 + 4 = 0
Одним из корней является х = 1
1
0
– 5
4
1
1
1
– 4
0
х 3 – 5х + 4 = 0
(х – 1) (х 2 + х – 4) = 0
х 2 + х – 4 = 0
D = 1 + 16 = 17
х
1
= 
; х
2
= 
Ответ:
1; ;
б) х 3 – 8х 2 + 40 = 0
Определим корни многочлена третьей степени.
:± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40
f (1) ≠ 0
f (–1) ≠ 0
f (–2) = – 8 – 32 + 40 = 0
Одним из корней является х = – 2
1
– 8
0
40
– 2
1
– 10
20
0
Разложим многочлен третьей степени на множители.
х 3 – 8х 2 + 40 = (х + 2) (х 2 – 10х + 20)
Найдем корни квадратного уравнения х 2 – 10х + 20 = 0
D = 100 – 80 = 20
х
1
= 5 – 
; х
2
= 5 +
Ответ: – 2;
5 – ; 5 +
в) х 3 – 5х 2 + 3х + 1 = 0
Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1
f (–1) = – 1 – 5 – 3 + 1 ≠ 0
f (1) = 1 – 5 + 3 + 1 = 0
Подходит х = 1
1
– 5
3
1
1
1
– 4
– 1
0
х 3 – 5х 2 + 3х + 1 = 0
(х – 1) (х 2 – 4х – 1) = 0
Определяем корни квадратного уравнения х 2 – 4х – 1 = 0
D = 20
х = 2 + ; х = 2 –
Ответ:
2 – ; 1; 2 +
г) 2х 4 – 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0
р: ± 1; ± 2
q : ± 1; ± 2
:± 1; ± 2; ±
f (1) = 2 – 5 + 5 – 2 = 0
Один из корней уравнения х = 1
2
– 5
5
0
– 2
1
2
– 3
2
2
0
2х 4 – 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0
(х – 1) (2х 3 – 3х 2 + 2х + 2) = 0
Находим по такой же схеме корни уравнения третьей степени.
2х 3 – 3х 2 + 2х + 2 = 0
р: ± 1; ± 2
q : ± 1; ± 2
:± 1; ± 2; ±
f (1) = 2 – 3 + 2 + 2 ≠ 0
f (–1) = – 2 – 3 – 2 + 2 ≠ 0
f (2) = 16 – 12 + 4 + 2 ≠ 0
f (–2) = – 16 – 12 – 4 + 2 ≠ 0
f () = – + 1 + 2 ≠ 0
f (–) = – – – 1 + 2 ≠ 0
Следующий корень уравнения х = –
2
– 3
2
2
2
– 4
4
0
2х 3 – 3х 2 + 2х + 2 = 0
(х + ) (2х 2 – 4х + 4) = 0
Определим корни квадратного уравнения 2х 2 – 4х + 4 = 0
х 2 – 2х + 2 = 0
D = – 4 < 0
Следовательно, корнями исходного уравнения четвертой степени являются
1 и –
Ответ: –; 1
3. Найдите рациональные корни многочлена
а) х 4 – 2х 3 – 8х 2 + 13х – 24
q : ± 1
:± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
Подберем один из корней многочлена четвертой степени:
f (1) = 1 – 2 – 8 + 13 – 24 ≠ 0
f (–1) = 1 + 2 – 8 – 13 – 24 ≠ 0
f (2) = 16 – 16 – 32 + 26 – 24 ≠ 0
f (–2) = 16 + 16 – 72 – 24 ≠ 0
f (–3) = 81 + 54 – 72 – 39 – 24 = 0
Один из корней многочлена х 0= – 3.
х 4 – 2х 3 – 8х 2 + 13х – 24 = (х + 3) (х 3 – 5х 2 + 7х + 8)
Найдем рациональные корни многочлена
х 3 – 5х 2 + 7х + 8
р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8
q : ± 1
f (1) = 1 – 5 + 7 + 8 ≠ 0
f (–1) = – 1 – 5 – 7 – 8 ≠ 0
f (2) = 8 – 20 + 14 + 8 ≠ 0
f (–2) = – 8 – 20 – 14 + 8 ≠ 0
f (–4) = 64 – 90 – 28 + 8 ≠ 0
f (4) ≠ 0
f (–8) ≠ 0
f (8) ≠ 0
Кроме числа x 0 = – 3 других рациональных корней нет.
б) х 4 – 2х 3 – 13х 2 – 38х – 24
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q : ± 1
f (1) = 1 + 2 – 13 – 38 – 24 ≠ 0
f (–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, то есть х = – 1 корень многочлена
1
2
– 13
– 38
– 24
– 1
1
1
– 14
– 24
0
х 4 – 2х 3 – 13х 2 – 38х – 24 = (х + 1) (х 3 – х 2 – 14х – 24)
Определим корни многочлена третьей степени х 3 – х 2 – 14х – 24
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q : ± 1
f (1) = – 1 + 1 + 14 – 24 ≠ 0
f (–1) = 1 + 1 – 14 – 24 ≠ 0
f (2) = 8 + 4 – 28 – 24 ≠ 0
f (–2) = – 8 + 4 + 28 – 24 ≠ 0
Значит, второй корень многочлена х = – 2
1
1
– 14
– 24
– 2
1
– 1
– 12
0
х 4 – 2х 3 – 13х 2 – 38х – 24 = (х + 1) (х 2 + 2) (х 2 – х – 12) =
= (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х – 4)
Ответ: – 3; – 2; – 1; 4
Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметром.
Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f (х) = 0 имеет три различных корня, один из которых х 0 .
а) f (х) = х 3 + 8х 2 + ах + b , х 0 = – 3
Так один из корней х 0 = – 3 , то по схеме Горнера имеем:
1
8
а
b
– 3
1
5
– 15 + а
0
0 = – 3 (– 15 + а) + b
0 = 45 – 3а + b
b = 3а – 45
х 3 + 8х 2 + ах + b = (х + 3) (х 2 + 5х + (а – 15))
Уравнение х 2 + 5х + (а – 15) = 0 D > 0
а = 1; b = 5; с = (а – 15),
D = b 2 – 4ac = 25 – 4 (a – 15) = 25 + 60 – 4a > 0,
85 – 4a > 0;
4a < 85;
a < 21
Наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение
f (х) = 0 имеет три корня, а = 21
Ответ: 21.
б) f(x) = x 3 – 2x 2 + ax + b, x 0 = – 1
Так как один из корней х 0= – 1, то по схеме Горнера имеем
1
– 2
a
b
– 1
1
– 3
3 + а
0
x 3 – 2x 2 + ax + b = (x + 1) (x 2 – 3x + (3 + a))
Уравнение x 2 – 3 x + (3 + a ) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0
a = 1; b = – 3; c = (3 + a),
D = b 2 – 4ac = 9 – 4 (3 + a) = 9 – 12 – 4a = – 3 – 4a > 0,
– 3 – 4a > 0;
– 4a < 3;
a < –
Наибольшее значение а = – 1 а = 40
Ответ: а = 40
г) f(x) = x 3 – 11x 2 + ax + b, x 0 = 4
Так как один из корней х 0 = 4 , то по схеме Горнера имеем
1
– 11
a
b
4
1
– 7
– 28 + а
0
x 3 – 11x 2 + ax + b = (x – 4) (x 2 – 7x + (a – 28))
f (x ) = 0, если х = 4 или x 2 – 7 x + (a – 28) = 0
D > 0, то есть
D = b 2 – 4ac = 49 – 4 (a – 28) = 49 + 112 – 4a = 161 – 4a >0,
161 – 4a > 0;
– 4a < – 161; f x 0 = – 5 , то по схеме Горнера имеем
1
13
a
b
– 5
1
8
– 40 + а
0
x 3 + 13x 2 + ax + b = (x +5) (x 2 +8x + (a – 40))
f (x ) = 0, если х = – 5 или x 2 + 8 x + (a – 40) = 0
Уравнение имеет два корня, если D > 0
D = b 2 – 4ac = 64 – 4 (a – 40) = 64 + 1 60 – 4a = 224 – 4a >0,
224 – 4a >0;
a < 56
Уравнение f (x ) имеет три корня при наибольшем значении а = 55
Ответ: а = 55
ж) f (x ) = x 3 + 19 x 2 + ax + b , x 0 = – 6
Так как один из корней – 6 , то по схеме Горнера имеем
1
19
a
b
– 6
1
13
а – 78
0
x 3 + 19x 2 + ax + b = (x +6) (x 2 + 13x + (a – 78)) = 0
f (x ) = 0, если х = – 6 или x 2 + 13 x + (a – 78) = 0
Второе уравнение имеет два корня, если
Методы решения алгебраических уравнений высших степеней.
Хабибуллина Альфия Якубовна ,
учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №177
города Казани, Заслуженный учитель Республики Татарстан,
кандидат педагогических наук.
Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида P n (x)=0, где P n (x) - многочлен степени n, т.е. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.
Определение 2. Корень уравнения – числовое значение переменной х, которое при подстановке в данное уравнение дает верное равенство.
Определение 3. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
I. Метод разложения многочлена на множители с последующим дроблением .
Уравнение можно разложить на множители и решить методом дробления, то есть, разбивая на совокупность уравнений меньших степеней.
Замечание : вообще, при решении уравнения методом дробления не следует забывать, что произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом сохраняют смысл.
Пути разложения многочлена на множители :
1. Вынесение общего множителя за скобки.
2.
Квадратный трехчлен
можно разложить на множители с помощью формулы ах
2
+вх+с=а(х-х
1
)(х-х
2
),
где а
0, х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена.
3. Использование формул сокращенного умножения :
а n – в n = (а - в)(а n-1 + Сn- 2 а n-2 в + Сn- 3 а n-3 в + …+ С 1 а в n-2 +в n-1), n
N.
Выделение полного квадрата . Многочлен можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, предварительно выделив полный квадрат суммы или разности выражений.
4. Группировка (в сочетании с вынесением общего множителя за скобки).
5. Использование следствия теоремы Безу .
1)если уравнение а 0 х n + a 1 x n-1 +…+ a n-1 x + a n = 0 , a 0 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень х 0 =
(где - несократимая дробь, p
q
), то p –делитель свободного члена a n , а q – делитель старшего коэффициента a 0 .
2)если х = х 0 – корень уравнения Р n (х) = 0, то Р n (х) = 0 равносильно уравнению
(х – х 0)Р n-1 (х)=0, где Р n-1 (х) – многочлен, который можно найти при делении
Р n (х) на (х – х 0) “уголком” или методом неопределенных коэффициентов.
II . Метод введения новой переменной (Подстановка )
Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Оно равносильно уравнению f(x)-g(х) = 0. Обозначим разность f(x)-g(х) = h(р (x)), причем 
. Введем замену t=р (x) (функция t= р(x) называется подстановка
). Тогда получим уравнение h(р (x)) =0 или h(t)=0 , решив последнее уравнение, находим t 1 , t 2 , … Вернувшись в подстановку р(x)=t 1 , р(x)=t 2 ,…, находим значения переменной х.
III Метод строгой монотонности.
Теорема. Если у= f(x) строго монотонна на P, то уравнение f(x)=а (а - const) имеет на множестве Р не более одного корня. (Функция строго монотонная: либо только убывающая, либо только возрастающая)
Замечание. Можно использовать модификацию этого метода. Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Если функция у= f(x) монотонно убывает на P, а функция у= g(x) монотонно убывает на Р (или наоборот), то уравнение f(x)=g(x) имеет на множестве Р не более одного корня.
IV . Метод сравнения множества значений обеих частей уравнения (метод оценки)
Теорема
Если для любого x из множества P выполняются неравенства f(x)
а, и g(x)
а, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Р равносильно системе 
.
Следствие
: Если на множестве Р 
или 
, то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней.
Этот метод достаточно эффективен при решении трансцендентных уравнений
V . Метод перебора делителей крайних коэффициентов
Рассмотрим уравнение a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Теорема.
Если x 0 = 
- корень алгебраического уравнения степени n, а i – целые коэффициенты, то p – делитель свободного члена а n , а q – делитель старшего коэффициента a 0 . При а 0 =1 x 0 =p (делитель свободного члена).
Следствие теоремы Безу: Если х 0 – корень алгебраического уравнения, то P n (x) делится на (x-x 0) без остатка, т.е P n (x)=(x-x 0)Q n-1 (x).
VI Метод неопределенных коэффициентов.
Он базируется на следующих утверждениях:
два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
любой многочлен третьей степени разлагается в произведение двух множителей: линейного и квадратного.
любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов
второй степени.
VII. Схема Горнера .
С помощью таблицы коэффициентов по алгоритму Горнера подбором находятся корни уравнения среди делителей свободного члена.
VIII . Метод производных.
Теорема.
Если 2 многочлена P(x) и Q(x) имеют тождественно равные производные, то существует такая С- const, что P(x)=Q(x)+С для 
x
R.
Tеорема
. Если 
(x) и 
(x) делятся на 
, то (x) делится на 
.
Следствие
: Если (x) и (x) делятся на многочлен R(x) , то (x) делится на 
(x), а наибольший общий делитель многочленов (x) и (x)
имеет корни, являющиеся лишь корнями многочлена (x) кратностью не менее 2.
IX . Симметрические, возвратные уравнения .
Определение
. Уравнение a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 называется симметрическим
, если 
1. Рассмотрим случай, когда n-четное, n =2k. Если 
, тогда x = 0 не является корнем уравнения, что дает право разделить уравнение на 
0 
+
+
+
=0 Введем замену t=
и, учитывая лемму, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Обратная подстановка даст решение относительно переменной х.
2. Рассмотрим случай, когда n-нечетное, n=2k+1. Тогда 
= -1 является корнем уравнения. Разделим уравнение на 
и получаем случай 1.. Обратная подстановка позволяет найти значения х. Заметим, что при m=-1 уравнение называется Преобразуем алгебраическое уравнение P n (x)=0 (где P n (x)- многочлен степени n) в уравнение вида f(x)=g(x). Зададим функции у=f(x), у=g(x); опишем их свойства и построим графики в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.
