Раздел колебания и волны. Механические колебания и волны

Колебательным движением называется всякое движение или изменение состояния, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы; ветры возбуждают колебания и волны на поверхности воды; внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется человеческое сердце.

В физике выделяются колебания механические и электромагнитные. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем большое число прямой информации об окружающем мире. Примерами колебательного движения в механике могут быть колебания маятников, струн, мостов и т.д.

Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Гармоническими называются колебания, при которых изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса (или косинуса):

где x – смещение от положение равновесия;

А – амплитуда колебания – максимальное смещение от положения равновесия;

- циклическая частота;

- начальная фаза колебания;

- фаза колебания; она определяет смещение в любой момент времени, т.е. определяет состояние колебательной системы.

В случае строго гармонических колебаний величины А, ине зависят от времени.

Циклическая частота связана с периодом Т колебаний и частотойсоотношением:

(2)

Периодом Т колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания.

Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за единицу времени, измеряется в герцах (1 Гц = 1
).

Циклическая частота численно равна числу колебаний, совершаемых за 2 секунд.

Колебания, возникающее в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными (или собственными).

Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные колебания называются незатухающими .

Скорость колебания точки определим как производную от смещения по времени:

(3)

Ускорение колеблющейся точки равно производной от скорости по времени:

(4)

Уравнение (4) показывает, что ускорение при гармонических колебаниях – переменно, следовательно, колебание обусловлено действием переменной силы.

Второй закон Ньютона позволяет в общем виде записать связь между силой F и ускорением при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки с массой
:

где
, (6)

к – коэффициент упругости.

Таким образом, сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать динамическое определение гармонического колебания: гармоническим называется колебание, вызываемое силой, прямо пропорциональной смещению х и направленной против смещения.

Возвращающей силой может быть, например, сила упругости. Силы, имеющие иную природу, чем упругие силы, но также удовлетворяющие условию (5), называются квазиупругими .

В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х ускорение равно:

.

Подставив это выражение для ускорения и значение силы
во второй закон Ньютона, получимосновное уравнение прямолинейных гармонических колебиний:

или
(7)

Решением этого уравнения является уравнение (1).

Период.

Периодом T называется промежуток времени, в течение которого система совершает одно полное колебание:

N - число полных колебаний за время t .

Частота.

Частота ν - число колебаний в единицу времени:

Единица частоты - 1 герц (Гц) = 1 с -1

Циклическая частота:

Уравнение гармонического колебания:

x - смещение тела от положения. X m - амплитуда, то есть максимальное смещение, (ωt + φ 0) - фаза колебаний, Ψ 0 - его начальная фаза.

Скорость.

При φ 0 = 0:

Ускорение.

При φ 0 = 0:

Свободные колебания.

Свободными называются колебания, возникающие в механической системе (осцилляторе) при единичном отклонении её от положения равновесия, имеющие собственную частоту ω 0 , задаваемую только параметрами системы, и затухающие со временем из-за наличия трения.

Математический маятник.

Частота:

l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.

Максимальную кинетическую энергию маятник имеет в момент прохождения положения равновесия:

Пружинный маятник.

Частота:

k - жёсткость пружины, m - масса груза.

Максимальную потенциальную энергию маятник имеет при максимальном смещении:

Вынужденные колебания.

Вынужденными называют колебания, возникающие в колебательной системе (осцилляторе) под действием периодически меняющейся внешней силы.

Резонанс.

Резонанс - резкое увеличение амплитуды X m вынужденных колебаний при совпадении частоты ω вынуждающей силы с частотой ω 0 собственных колебаний системы.

Волны.

Волны - это колебания вещества (механические) или поля (электромагнитные), распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Скорость волны.

Скорость распространения волны υ - скорость передачи энергии колебания. При этом частицы среды колеблются около положения равновесия, а не движутся с волной.

Длина волны.

Длина волны λ - расстояние, на которое распространяется колебание за один период:

Единица длины волны - 1 метр (м).

Частота волны:

Единица частоты волны - 1 герц(Гц).

II семестр

Механические колебания и волны

Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса.

Колебания подразделяются:

по природе: механические, электромагнитные;

по степени повторяемости: периодические, непериодические;

по свойствам: гармонические, ангармонические;

по способу возникновения: свободные, вынужденные.

Механические колебания

Колебательные системы

Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени.

Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени.

Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период.

Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются.

Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени.

Циклическая частота – число полных колебаний за единиц времени.

Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций.

Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах.

Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия.

Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы.

Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Равновесие в механических системах и возникновение колебаний

Условие равновесия точечного тела:
, протяжённого тела:
,
.

Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.

,
;
. Необходимое условие колебательной системы:
. Достаточность:
.

Свободные незатухающие колебания

Пружинный маятник:
,
, ,
, где
.

Математический маятник:
.
,
.
,
,
,
,
,
, где
.

Физический маятник:
,
,
,
,
,
,
, где
.

Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника,
.

Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике.

Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили.

Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков).

Уравнение колебаний

Все системы описываются уравнением
, где
(пружинный),
(математический),
(физический).

Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x ).

Решение уравнения колебаний.

Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания.

Основные характеристики гармонических колебаний

Амплитуда – максимальное значение переменной колебания (максимальное отклонение системы от положения равновесия). Амплитуда всегда положительна.
,A – амплитуда.

Фаза – параметр, характеризующий относительное значения отклонения системы от положения равновесия (
).

Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени ().

Период:
, частота
,- циклическая частота.

Свойства гармонических колебаний:

Частота и период гармонических колебаний определяются свойствами самой системы.

Амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний.

Период и частота не зависят от амплитуды.

Скорость и ускорение при колебаниях:

Пусть
. Тогда,
.

Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.

Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу.

Кинетическая и потенциальная энергия системы:

. Для пружинного маятника
- закон сохранения энергии при свободных незатухающих колебаниях.

.,.

Энергия и вычисление периода колебаний:

Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел.

Пусть, где
. Возьмём
,
. Тогда
, а уравнение
описывает движение проекций конца вектора по соответствующим осям. Пусть теперьxy – комплексная плоскость. Тогда .

Фазовая плоскость (пространство) – геометрический образ, представимый множеством состояний системы
или
.

Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы.

Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы.

Фазовый портрет маятника – фазовая траектория маятника:
или
(
или ­
).

Фазовый портрет для гармонических колебаний:
.

Свободные затухающие колебания

Пружинный маятник: ., где - параметр (коэффициент) затухания,
.

Математический маятник:
.

Решение уравнения свободных затухающих колебаний:

Предположим, что
. Тогда
,
.
,. Отсюда. Обозначив
, получим:
- решение уравнения свободных затухающих колебаний.

Если трение мало
, то
.

Основные характеристики затухающих колебаний.

В
ремя релаксации – время, в течение которого значение параметра убывает вe раз:

.

Декремент затухания характеризует, во сколько раз амплитуда колебаний убывает за один период:
.

Логарифмический декремент затухания характеризует, во сколько раз изменяется логарифм убывания амплитуды:
.

Пусть
и совершаетсяN колебаний, т.е.
. Тогда
,
.

Скорость и ускорение затухающих колебаний:
,,.

Добротность системы
.

Энергия,
.

. При

.

Вынужденные колебания

Д
ля пружинного маятника:
, гдеm – масса тела, F – амплитуда силы,  - циклическая частота силы.

Для математического маятника:
.

Длительность переходного режима совпадает со временем релаксации.

- амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний,
- фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний.

Общее уравнение: , где первое слагаемое представляет собой начальное колебаний системы, которое из-за затухания постепенно сходит на нет, а второе – установившийся режим вынужденных колебаний.

Резонанс.

Найдём максимум амплитуды колебаний в зависимости от частоты воздействующей силы. Для этого решим уравнение
. Получим:
.

Резонанс – явление резкого возрастания (убывания) амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты воздействия внешней силы к частоте собственных колебаний (точнее, к величине
, где - коэффициент затухания, но обычно
).

Резонансная частота – частота внешней возбуждающей силы, при которой достигается максимум амплитуды вынужденных колебаний.

Наложение колебаний

Сложение колебаний одного направления

Пусть
,. Тогда.

Векторная диаграмма:

,

,
. Тогда

,

Таким образом, .

Б
иения: Рассмотри два колебания:
и, где
. Результирующее колебания будет описываться уравнением
.

Частота биения:
, период
.

Взаимно перпендикулярные колебания

Рассмотрим два колебания, происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях:
,
.

Фигура Лиссажу - эта линия, которую описывает тело, одновременно колеблющееся в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Свойства фигур Лиссажу:

Механические волны

Распространение волн в упругой среде

Волны – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

Упругие волны – волны, распространяющиеся в упругой среде.

Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе.

Волновой фронт – поверхность, разделяющая возмущённую и невозмущённую части среды.

Виды волн:

Поперечные – колебания в которых происходят поперёк направления распространения.

Продольные – колебания в которых происходят вдоль направления распространения.

В газообразной и жидкой среде колеблется плотность или, что то же, давление. В твёрдой среде и на границе раздела фаз – деформация или, что то же, механическое напряжение.

Волновое уравнение

И
сследуем колебания струны. Пусть в какой-то момент времени струна деформирована так, как показано на рисунке. Тогда уравнение движения для этой струны выглядит так:
. Т.к.
и
, то
. Спроектируем это уравнение на ось : и на осьz : . Т.к.иочень малы, то
,. Тогда
. Введём линейную плотность
, тогда
. Таким образом мы получили волновое уравнение поперечной волны:
, где
.

Волновое уравнение для продольной волны выглядит так:
, где
,p – давление в среде распространения волны.

Анализ механических волн

Пусть
. Тогда
,
и
,
,

,
. Подставим это в волновое уравнение:

.

Общее решение волнового уравнения: , гдеи- произвольные функции.

Гармоническое решение волнового уравнения: .

Период волны
, фаза волны
.

- фазовая скорость волны.

Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за один период,

Волновое число
.

Волновой вектор:
,сонаправлен с направлением распространения волны.

Фазовая скорость волны – скорость, с которой движутся точки волны, колеблющиеся в одной фазе.
.

Геометрические свойства волн

Для трёхмерного случая выражение
, где - это оператор Лапласа, в декартовой системе координат
.

Плоские, цилиндрические и сферические волны – волны, волновой фронт которых представляет собой соответственно плоскость, цилиндр и сферу.

В случае плоской волны в волновом уравнении достаточно заменить
, т.е.
.

Для цилиндрической волны
или, для гармонических колебаний,
. Здесь- проекция волнового вектора на ось.

Уравнение сферической волны:
,
. Здесь - проекция волнового вектора на радиус-вектор.

Бегущие и стоячие волны

Если , то направление распространения волны сонаправленно с осьюz . Если же , то направление распространения волны противоположно направлено осиz .

Рассмотрим сложение двух одинаковых волн, двигающихся навстречу друг другу. Т.е. пусть ,. Тогда- уравнение стоячей волны.

Узлы – это точки, амплитуда колебаний которых равна 0 (т.е.
).

Пучности – это точки, амплитуда колебаний которых максимальна (т.е.
).

Длина стоячей волны
.

100. Колебательным процессом (колебанием) называется такое изменение состояния системы, при котором значения параметров состояния последовательно отклоняются то в одну, то в другую сторону от некоторого значения.

101. Свободные колебания - это колебания, которые совершаются под действием внутренних сил, пропорциональных смещению и направленных к положению равновесия. Они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

102. Гармоническими называются колебания, при которых величины, описывающие систему, изменяются по закону синуса или косинуса. Этими величинами могут быть: координата точки, энергия, напряжённость электрического поля, индукция магнитного поля, скорость и т.д.

103. Уравнение гармонических колебаний:

где х - значение изменяющейся величины в данный момент времени, х m - амплитуда колебаний, ‑ циклическая частота, 0 - начальная фаза.

104. Амплитуда колебаний - это модуль максимального отклонения изменяющейся величина от положения равновесия.

105. Частота - это число колебаний за единицу времени (обычно за секунду). В системе СИ частота измеряется в герцах (Гц).

106. Циклическая частота - это число колебаний за 2 секунд. В системе СИ циклическая частота измеряется в с -1 .

107. Период колебаний T - это время, за которое совершается одно полное колебание. В системе СИ период измеряется в секундах (с).

108. Связь периода, частоты и циклической частоты колебаний

109. Значение выражения (t + 0), стоящего под знаком косинуса или синуса в уравнении гармонических колебаний и определяющего при постоянной амплитуде состояние колебательной системы в данный момент времени, называется фазой колебаний. Фаза колебаний в системе СИ измеряется в радианах (рад).

110. Скорость колеблющейся точки

111. Максимальная скорость колеблющейся точки:

112. Ускорение колеблющейся точки

113. Максимальное ускорение колеблющейся точки

114. Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку

115. Полная энергия материальной точки , совершающей гармонические колебания

116. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной, невесомой и нерастяжимой нити. При выведении из положения равновесия такая система совершает колебания под действием силы тяжести.

117. Период колебаний математического маятника равен

где l -длина математического маятника, g - ускорение свободного падения.

118. Период колебаний пружинного маятника:

где m - масса маятника, k - коэффициент упругости пружины.

119. Затухающими называются колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

120. Вынужденными называются колебания, которые происходят под влиянием внешних периодических воздействий. Вынужденные колебания происходят с частотой внешних периодических воздействий.

121. Автоколебания - это незатухающие колебания, существующие за счёт постоянного источника энергии, который периодически включается и выключается самой колебательной системой в нужные моменты времени для пополнения запаса энергии.

122. Резонанс - это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешних периодических воздействий совпадает с частотой собственных колебаний колебательной системы.

123. Волна - это процесс распространения колебаний в материальной среде.

124. Фронт волны - это поверхность, которая отделяет область пространства, уже вовлечённую в волновой процесс, от области пространства, в которой колебания ещё не возникли.

125. Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

126. Волны называют поперечными , если колебания в них происходят перпендикулярно направлению распространения волны.

127. Волны называют продольными , если колебания в них происходят вдоль направления их распространения.

128. Поперечные волны распространяются только в твёрдых телах и вдоль границ раздела сред с различными физическими свойствами, например, на границе между водой и воздухом (на поверхности воды), т.к. за механизм их возникновения ответственна деформация сдвига, которая возможна только в твёрдых телах или на границе раздела сред, обладающей упруги­ми свойствами. Примером поперечных волн могут служить электромагнитные волны, волны на поверхности воды.

129. Продольные волны могут существовать в любых средах, т.к. за меха­низм их возникновения ответственна деформация растяжения-сжатия, кото­рая может возникать в любых средах. Примером продольных волн могут служить звуковые волны в воздухе.

130. Расстояние, на которое распространяется волна за один период называется длиной волны . Или другое определение: кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны .

131. Волны, частота которых лежит в диапазоне от 16 Гц до 20 кГц, называются звуковыми или акустическими.

132. Скорость звука в воздухе порядка 340 м/с. Она изменяется в зависимости от температуры, плотности, влажности, атмосферного давления. Чем выше плотность среды, тем больше скорость звука. Например, в твёрдых телах она составляет тысячи м/с.

133. Громкость звука зависит от амплитуды колебаний частиц в волне. Чем больше амплитуда колебаний, тем выше громкость звука.

134. Высота тона зависит от частоты. Чем выше частота, тем выше тон.

135. Принцип суперпозиции волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

136. Когерентность - согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

137. Когерентные волны - это волны одинаковой частоты, разность фаз которых в процессе распространения остается постоянной во времени.

138. Интерференция волн - сложение когерентных волн, при котором в разных точках пространства получается устойчивая картина усиления или ослабления амплитуды результирующей волны.

139. Условия интерференционных максимумов: разность хода волн равна чётному числу длин полуволн или целому числу длин волн.

140. Условия интерференционных минимумов: разность хода волн равна нечётному числу длин полуволн.

где r - разность хода волн, - длина волны, k = 0,1,2,...

141. Разность фаз двух когерентных волн в данной точке

где r 1 и r 2 – расстояния точки от источников когерентных волн; r 2 -r 1 =r - разность хода волн.

142. Инфразвук - волны с частотами меньше 16 Гц.

143. Ультразвук - волны с частотами больше 20 кГц.

144. Интенсивность звука - величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной за 1 с через площадку 1 м 2 , перпендикулярную направлению распространению волны.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Колебаниями называются процессы, при которых движения или состояния системы регулярно повторяются во времени. Наиболее наглядно демонстрирует колебательный процесс качающийся маятник, но колебания свойственны практически всем явлениям природы. Колебательные процессы характеризуются следующими физическими величинами.

Период колебаний Т – промежуток времени, через который состояние системы принимают одинаковые значения: u (t + T ) = u (t ).

Частота колебаний n или f – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т . Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с –1 . Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц. В расчетах нередко используют круговую, или цикличную частоту w = 2pn .

Фаза колебанийj – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.

Амплитуда колебанийА – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.

Периодические колебания могут иметь самую разную форму, но наибольший интерес представляют так называемые гармонические, или синусоидальные колебания. Математически они записываются в виде

u (t ) = A sin j = A sin(w t + j 0),

где A – амплитуда, j – фаза, j 0 – ее начальное значение, w – круговая частота, t – аргумент функции, текущее время. В случае строго гармонического, незатухающего колебания, величины А , w и j 0 не зависят от t .

Любое периодическое колебание самой сложной формы может быть представлено в виде суммы конечного числа гармонических колебаний, а непериодическое (например, импульс) – бесконечным их количеством (теорема Фурье).

Система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе, совершает свободные, или собственные колебания, частота которых определяется физическими параметрами системы. Собственные колебания также могут быть представлены в виде суммы гармонических, так называемых нормальных колебаний, или мод.

Возбуждение колебаний может происходить тремя путями. Если на систему действует периодическая сила, меняющаяся с частотой f (маятник раскачивают периодическими толчками), система будет колебаться с этой – вынужденной – частотой. Когда частота вынуждающей силы f равна или кратна частоте собственных колебаний системы n , возникает резонанс– резкое возрастание амплитуды колебаний.

Если параметры системы (например, длину подвеса маятника) периодически изменяют, происходит параметрическое возбуждение колебаний. Оно наиболее эффективно, когда частота изменения параметра системы равна ее удвоенной собственной частоте: f пар = 2n соб.

Если колебательные движения возникают самопроизвольно (система «самовозбуждается»), говорят о возникновении автоколебаний, имеющих сложный характер.

Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h , ему сообщают потенциальную энергию mgh . Она полностью переходит в кинетическую энергию движения mv 2 /2, когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. Если при этом происходит потеря энергии, колебания становятся затухающими.

В физике отдельно рассматриваются колебания механические и электромагнитные – связанные колебания электрического и магнитного поля (свет, рентгеновское излучение, радио). В пространстве они распространяются в форме волн.

Волнойназывается возмущение (изменение состояния среды), которое распространяется в пространстве и несет энергию, не перенося вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Упругие волны могут возбуждаться только в среде (газе, жидкости, твердом теле), а электромагнитные волны распространяются и в вакууме.

Если возмущение волны направлено перпендикулярно направлению ее распространения, волна называется поперечной, если параллельно – продольной. К поперечным относятся волны, бегущие по поверхности воды и вдоль струны, а также электромагнитные волны – векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны вектору скорости волны. Типичный пример продольной волны – звук.

Уравнение, описывающее волну, можно вывести из выражения для гармонических колебаний. Пусть в какой-то точке среды происходит периодическое движение по закону А = A 0 sin w t . Это движение будет передаваться от слоя к слою – по среде побежит упругая волна. Точка, находящаяся на расстоянии x от точки возбуждения, станет совершать колебательные движения, отставая на время t , необходимое для прохождения волной расстояния х : t = x /c , где c – скорость волны. Поэтому законом ее движения будет

A x = A 0 sin w (t – x /c ),

или, так как w = 2p /T , где T - период колебаний,

A x = A 0 sin 2p (t /T – x /cT ).

Это – уравнение синусоидальной, или монохроматической волны, распространяющейся со скоростью с в направлении х . Все точки волны в момент времени t имеют разные смещения. Но ряд точек, отстоящих на расстояние cT одна от другой, в любой момент времени смещены одинаково (т.к. аргументы синусов в уравнении отличаются на 2p и, следовательно, их значения равны). Это расстояние и есть длина волны l = сТ . Она равна пути, который проходит волна за один период колебания.

Фазы колебаний двух точек волны, находящихся на расстоянии D х одна от другой, отличаются на Dj = 2p D х /l , и, следовательно, на 2p при расстоянии, кратном длине волны. Поверхность, во всех точках которой волна имеет одинаковые фазы, называется волновым фронтом. Распространение волны происходит перпендикулярно ему, поэтому оно может рассматриваться как движение волнового фронта в среде. Точки волнового фронта формально считают фиктивными источниками вторичных сферических волн, при сложении дающих волну исходной формы (принцип Гюйгенса-Френеля).

Скорость смещения элементов среды меняется по тому же закону, что и само смещение, но со сдвигом по фазе на p /2: скорость достигает максимума, когда смещение падает до нуля. То есть волна скоростей сдвинута относительно волны смещений (деформаций среды) по времени на Т /4, а в пространстве на l /4. Волна скоростей несет кинетическую энергию, а волна деформаций – потенциальную. Энергия все время переносится в направлении распространения волны +х со скоростью с .

Введенная выше скорость с отвечает распространению только бесконечной синусоидальной (монохроматической) волны. Она определяет скорость перемещения ее фазы j и называется фазовой скоростью с ф. Но на практике гораздо чаще встречаются как волны более сложной формы, так и волны, ограниченные во времени (цуги), а также совместное распространение большого набора волн разной частоты (например, белый свет). Подобно сложным колебаниям, волновые цуги и негармонические волны могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) синусоидальных волн разных частот. Когда фазовые скорости всех этих волн одинаковы, то вся их группа (волновой пакет) движется с одной скоростью. Если же фазовая скорость волны зависит от ее частоты w , наблюдается дисперсия – волны различных частот идут с разной скоростью. Нормальная, или отрицательная дисперсия тем больше, чем выше частота волны. За счет дисперсии, например, луч белого света в призме разлагается в спектр, в каплях воды – в радугу. Волновой пакет, который можно представить как набор гармонических волн, лежащих в диапазоне w 0 ± Dw , из-за дисперсии расплывается. Его форма – огибающая амплитуд компонент цуга – искажается, но перемещается в пространстве со скоростью v гр, называемой групповой скоростью. Если при распространении волнового пакета максимумы волн, его составляющих, движутся быстрее огибающей, фазовая скорость сигнала выше групповой: с ф > v гр. При этом в хвостовой части пакета за счет сложения волн возникают все новые максимумы, которые передвигаются вперед и пропадают в его головной части. Примером нормальной дисперсии служат среды, прозрачные для света – стекла и жидкости.

В ряде случаев наблюдается также аномальная (положительная) дисперсия среды, при которой групповая скорость превышает фазовую: v гр > с ф, причем возможна ситуация, когда эти скорости направлены в противоположные стороны. Максимумы волн появляются в головной части пакета, перемещаются назад и исчезают в его хвосте. Аномальная дисперсия наблюдается, например, при движении очень мелких (так называемых капиллярных) волн на воде (v гр = 2с ф).

Все методы измерения времени и скорости распространения волн, базирующиеся на запаздывании сигналов, дают групповую скорость. Именно ее учитывают при лазерной, гидро- и радиолокации, зондировании атмосферы, в системах радиоуправления и т.п.

При распространении волн в среде происходит их поглощение – необратимый переход энергии волны в другие ее виды (в частности – в теплоту). Механизм поглощения волн разной природы различен, но поглощение в любом случае приводит к ослаблению амплитуды волны по экспоненциальному закону: А 1 /А 0 = е a , где a – так называемый логарифмический декремент затухания. Для звуковых волн, как правило, a ~ w 2: высокие звуки поглощаются значительно сильнее низких. Поглощение света – падение его интенсивности I – происходит по закону Бугера I = I 0 exp(–k l l ), где exp(x ) = e x , k l – показатель поглощения колебания с длиной волны l , l – путь, пройденный волной в среде.

Рассеяние звука на препятствиях и неоднородностях среды приводит к расплыванию звукового пучка и, как следствие, – к затуханию звука по мере его распространения. При размере неоднородности L < l /2 рассеяние волны отсутствует. Рассеяние света происходит по сложным законам и зависит не только от размера препятствий, но и от их физических характеристик. В природных условиях наиболее сильно проявляется рассеяние на атомах и молекулах, происходящее пропорционально w 4 или, что то же самое, l -4 (закон Рэлея). Именно рэлеевским рассеянием обусловлен голубой цвет неба и красный – Солнца на закате. Когда размер частиц становится сравним с длиной волны света (r ~ l ), рассеяние перестает зависеть от длины волны, свет рассеивается больше вперед, нежели назад. Рассеяние на крупных частицах (r >> l ) происходит с учетом законов оптики – отражения и преломления света.

При сложении волн, разность фаз которых постоянна (см . КОГЕРЕНТНОСТЬ) возникает устойчивая картина интенсивности суммарных колебаний – интерференция. Отражение волны от стенки равносильно сложению двух волн, идущих навстречу одна другой с разностью фаз p . Их суперпозиция создает стоячую волну, в которой через каждую половину периода Т /2 лежат неподвижные точки (узлы), а между ними – точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой А (пучности).

Волна, падающая на препятствие или проходящая сквозь отверстие, огибает их края и заходит в область тени, давая картину в виде системы полос. Это явление называется дифракцией; оно становится заметным, когда размер препятствия (диаметр отверстия) D сравним с длиной волны: D ~ l .

В поперечной волне может наблюдаться явление поляризации, при котором возмущение (смещение в упругой волне, векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной) лежит в одной плоскости (линейная поляризация) или вращается (круговая поляризация), меняя при этом интенсивность (эллиптическая поляризация).

При движении источника волн навстречу наблюдателю (или, что то же самое – наблюдателя навстречу источнику) наблюдается повышение частоты f , при удалении – понижение (эффект Доплера). Это явление можно наблюдать возле железнодорожного пути, когда мимо проносится локомотив с сиреной. В тот момент, когда он оказывается рядом с наблюдателем, происходит заметное понижение тона гудка. Математически эффект записывается как f = f 0 /(1 ± v /c ), где f – наблюдаемая частота, f 0 – частота излучаемой волны, v – относительная скорость источника, c – скорость волны. Знак «+» соответствует приближению источника, знак «–» – его удалению.

Несмотря на принципиально разную природу волн, законы, определяющие их распространение, имеют много общего. Так, упругие волны в жидкостях или газах и электромагнитные волны в однородном пространстве, излученные малым источником, описываются одним и тем же уравнением, а волны на воде, подобно свету и радиоволнам, испытывают интерференцию и дифракцию.

Сергей Транковсий